Produit scalaire de deux vecteurs

[eleve19]

Bonjour, nous sommes en train de voir le produit scalaire et je ne comprends pas la notion de norme d'un vecteur quand on utilise l'expression du produit scalaire suivant:
1/2(||\(\vec{u}\)+\(\vec{v}\)||^2-||\(\vec{u}\)||^2-||\(\vec{v}\)||^2)
notamment je ne comprends pas cette remarque : Soit A, B, C trois points du plan tels que vecteur u= vecteur AB et vecteur v = vecteur AC, on a : u+v=1/2(AB^2+AC^2-BC^2)
Il doit y avoir une relation de Chasles mais je ne la voit pas

[sos-math(21)]

Bonsoir,
D'abord, il faut comprendre que le produit scalaire est un nombre, ce qui explique la définition donnée avec des normes de vecteurs : la norme d'un vecteur est sa longueur.
Ensuite pour la relation donnée, il s'agit d'une conséquence du théorème d'al-kashi :
on part de :
\(BC^2=\vec{BC}.\vec{BC}=(\vec{BA}+\vec{AC}).(\vec{BA}+\vec{AC})=(\vec{AC}-\vec{AB}).(\vec{AC}-\vec{AB})\) avec la relation de chasles.
Ensuite, on développe comme un double produit algébrique :
\(BC^2=AC^2-2\vec{AB}.\vec{AC}+AB^2\) donc en passant le produit scalaire à gauche et en passant\(BC^2\) à droite :
\(2\vec{AB}.\vec{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\) donc en divisant par 2 :
\(\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\)
Voilà pour l'explication.
remarque : on a une démonstration similaire pour obtenir la première définition que tu donnes.
Est-ce plus clair ?
Bon courage

[eleve19]

bonsoir,
Merci c'est plus clair en effet, nous n'avions pas vu de démonstration en classe.

[SoS-Math(4)]

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