Histoire de Fonction dérivable

[Anabelle]

Ce matin, mon professeur m'a donné un nouvel exercice que je ne comprends pas. Pourrais-je bénéficier de votre aide s'il vous plait ?

1. Expliquer pourquoi la fonction f:x -> 1/x^2+x+1 est dérivable sur R.
2. Montrer par le calcul que sa courbe C ne possède qu'un point A où la tangente est horizontale.
3. Soit a l'abscisse du point A. A l'aide d'une calculatrice graphique, déterminer sans calcul si f semble présenter en a :
- un minimum
- un maximum
- ni l'un ni l'autre

[SoS-Math(1)]

Bonjour Anabelle,

J'imagine que ta fonction f est définie par \(f(x)=\frac{1}{x^2+x+1}\).

Elle est de la forme \(\frac{1}{g}\) où la fonction g est définie par \(g(x)=x^2+x+1\).
g est dérivable sur l'ensemble des nombres réels et ne s'annulle pour aucune valeur...

Pour la question 2), il faut calculer la fonction dérivée de la fonction f...

A bientôt.

[Anabelle]

Bonjour,
J'ai compris pour la question 1 et je tenais à vous en remercier. Néanmoins, j'ai peur de n'avoir pas très bien réussi ma dérivée pour la seconde question.
Le résultat que je trouve est 1/2x+1
Me serais-je trompée dans ma dérivée ? Mise à part ça, pourriez-vous me dire ce que maximum et minimum veulent dire s'il vous plait, en question 3 ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Anabelle,

Il faut calculer la dérivée de la fonction \(f\).
Qu'as-tu trouvé?

Ensuite, il faut résoudre l'équation \(f^{\prime}(x)=0\).

A bientôt.

[Anabelle]

J'ai trouvé 1/2x+1 (désolé je ne sais pas faire les fonctions de la même forme que toi pour les poster, j'espère que tu comprendras).

[SoS-Math(1)]

Bonjour Anabelle,

Je ne trouve pas du tout cela.

En effet la fonction dérivée d'une fonction du type \(\frac{1}{u}\) est la fonction \(~-\frac{u^{\prime}}{u^2}\).
Ici, \(u(x)=x^2+x+1\) et \(u^{\prime}(x)=\ldots\)

A bientôt.

[Anabelle]

Ah d'accord, je comprend mieux. C'est donc la fonction g(x) de la question 1 que je dois dériver, c'est bien cela ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour Anabelle,

Il n'y a qu'une seule fonction dans cet exercice!
Je ne comprends pas votre remarque.

A bientôt.

[Anabelle]

Je suis sincèrement désolé, j'ai mis du temps à comprendre.
Je pense avoir réussi à répondre à la question. Je verrais bien ce que mon professeur en dira de toute façon.
En tout cas, merci beaucoup pour votre aide.