suites

[charlotte section S]

On définit
-la suite (Un) par Uo=13 et pour tout entier naturel n, Un+1 = 1/5 Un + 4/5
-la suite (Vn) par pour tout en,tier naturel n, Vn=Un-1
-la suite (Sn) par pour tout entier naturel n, Sn=n[smb]somme[/smb]k=0 Uk=Uo+U1+U2+...+Un

a)Déterminer le sens de variation de la suite (Sn)
b)Calculer Sn en fonction de n
c)Déterminer la limite de la suite (Sn)

Bonjour,
j'ai besoin de votre aide SVP je n'y arrive pas malgré mes recherches...
Pour le a), je pense que Sn est croissante mais comment le démontrer?
pour le b) je pensais à Sn=(Uo- 4/5)*(1-(1/5)^n+1)/(1-1/5)+ (4/5)^n+1
je suis partie d'une suite géométrique Un+1=1/5 Un j'applique la définition pour calculer la somme d'une suite géométriue et je rajoute (4/5)n+1...qu'en pensez vous? mon raissonnement est sans doute faux...
Merci d'avance pour votre aide!

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charlotte,

Pour la question a., il faut simplement chercher le signe de \(s_{n+1}-s_n\).

Pour la question b., il faut d'abord démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique.
Donc, on pourra exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) et ensuite on pourra exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

A vous de continuer vos recherches.

A bientôt.

[charlotte]

Merci pour votre aide!
pour le b), pour calculer la somme, faut il faire:
Sn= Vo * (1-Q^n+1)/(1-1/5) + (1)^n+1 ??
mais pour le c) je ne sais pas comment faire?
merci d'avance!!

[charlotte section S]

sachant que Un= 1 + 12/(5)^n et Vn= 12/(5)^n ...

[charlotte section S]

Bonjour,
Vo=12 ça fait: Sn= 12* (1-(1/5)^n+1)/ (4/5) + 1
et je trouve comme limite de Sn 16, hors lorsque je tape cette fonction Sn sur la calculatrice, je trouve 1...:S est ce que l'expression de Sn est correcte?
aidez moi SVP, j'attends vos réponses!!

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charlotte,

Alors, tu y es presque...

On sait donc que \(u_n=v_n+1=v_0q^n+1\) avec \(v_0=12\) et \(q=\frac{1}{5}\).

Donc \(s_n=\sum_{k=0}^{k=n}{(v_0q^n+1)}\).

Donc \(s_n=v_0\left(\sum_{k=0}^{k=n}{q^n}\right)+(n+1)\).

Ce qui nous donne:
\(s_n=v_0\left(\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)+n+1\).

A bientôt.

[charlotte section S]

Bonsoir,
merci pour votre réponse seulement je ne comprends pas pourquoi n+1? et je ne comprends comment passe t on de la ligne 1 à la ligne 2? je ne vois pas comment vous faites! xD

[SoS-Math(1)]

Bonjour Charlotte,

Regarde, j'écris \(s_n\) sans le symbole \(\sum\).

\(s_n=(v_0q_0+1)+(v_0q^1+1)+(v_0q^2+1)+\ldots+(v_0q^n+1)\).
Combien y a-t-il de fois le nombre 1: il y en a \(n+1\).

A bientôt.

[charlotte section S]

ah merci beaucoup j'ai enfin compris!
encore merci et bon dimanhe! :)

[charlotte section S]

Par contre pour trouver la limite comment fait-on? x)

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Pour trouver la limite de Sn, tu reprends l'expression de Sn dans le message de 4h15.

Tu connais la limite de \(q^n\) lorsque n tend vers l'infini. ( voir cours)
Tu connais aussi la limite de n+1 lorsque n tend vers l'infini.

Donc tu dois pouvoir trouver la limite de Sn.

sosmaths.

[charlotte section S]

Bonjour,
je trouve plus l'infini et vous? :)

[SoS-Math(1)]

Bonsoir Charlotte,

Oui, je trouve le même résultat.

A bientôt.