Il y a 10 chasseurs et 10 canards.
Chaque chasseur tire et atteint sa cible. Quel est le nombre moyen de survivants ?
Le nombre de cas de tirs possibles (faisant mouche) est 10^10 et le nombre de cas favorables au canard i par exemple est 9^10.
Ainsi si Xi est la variable aléatoire qui vaut 1 si le canard i survit et 0 sinon, on a :
P(Xi=1) = 0,9^1O et E(Xi) = 0,9^10
Par suite, si X = X1 + X2 + ......... + X10 alors E(X) = 10 * 0,9^10 ce qui donne environ 3,48
(ce qui est la réponse ).
Ma solution est-elle bonne ?
J' ai une question supplémentaire :
si l'on avait posé Xi = 2 (par exemple) si le canard i survit et 0 sinon, on aurait pas trouvé la même réponse, pourquoi faut-il toujours prendre Xi = 1 et Xi = 0 ???
Merci beaucoup, Eric
proba
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Bonjour,
Le résultat est juste et après les 10 tirs il y a en moyenne 3,48 canards encore vivants. Votre solution ne semble pas être une solution d'élèves, pour un problème qui d'ailleurs est assez difficile au niveau 1ère.
En prenant Xi=1 si le canard i est vivant après le tir, Xi=0 sinon, l'espérance mathématique obtenue coïncide avec le nombre moyen de canards vivants après le tir.
Si vous choisissez 2 à la place de 1, alors l'espérance mathématique obtenue représente le double du nombre de canards encore vivants après le tir. Il faudra alors diviser par 2.
Remarque :
1) Vous pouvez vérifier votre résultat, en modélisant ce tir avec un tableur.
2) Cet exercice est à rapprocher d'une catégorie d'exercices du genre : On achète des paquets de céréales, dans lequel il ya un jouet en cadeau. Sachant qu'il y a en tout 10 jouets diffférents, combien de paquets de céréales doit -t-on acheter en moyenne pour obtenir la collection complète.
Ici, combien de tirs en moyenne pour tuer tous les canards ?
sosmaths
Le résultat est juste et après les 10 tirs il y a en moyenne 3,48 canards encore vivants. Votre solution ne semble pas être une solution d'élèves, pour un problème qui d'ailleurs est assez difficile au niveau 1ère.
En prenant Xi=1 si le canard i est vivant après le tir, Xi=0 sinon, l'espérance mathématique obtenue coïncide avec le nombre moyen de canards vivants après le tir.
Si vous choisissez 2 à la place de 1, alors l'espérance mathématique obtenue représente le double du nombre de canards encore vivants après le tir. Il faudra alors diviser par 2.
Remarque :
1) Vous pouvez vérifier votre résultat, en modélisant ce tir avec un tableur.
2) Cet exercice est à rapprocher d'une catégorie d'exercices du genre : On achète des paquets de céréales, dans lequel il ya un jouet en cadeau. Sachant qu'il y a en tout 10 jouets diffférents, combien de paquets de céréales doit -t-on acheter en moyenne pour obtenir la collection complète.
Ici, combien de tirs en moyenne pour tuer tous les canards ?
sosmaths