Nombre Dérivée

[Camille]

Alors voilà, je suis sur le chapitre des nombres dérivées, et j'ai un petit souci au niveau d'un exercice.

Je dois démontrer que la racine de 1+h est égale à 1+(1/2)h.
J'ai ces formules a utiliser : f(1+h)-f(1) le tout sur h et f(1+h)=hf'(1)+f(1).
Je l'ai fait, et je trouve (2/1)h+1.

Je ne comprends pas mon erreur.

Ai-je utiliser les bonnes formules ?
Où est mon erreur ?

Merci de bien vouloir m'éclairer.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Les formules auxquelles tu fais référence sont des formules à utiliser "quand h est proche de 0". Il faut donc appliquer cette formule : \(f(1+h)=hf^{,}(1)+f(1)\). pour la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\)

Pour te dire où se situe ton erreur, il me faudrait tes calculs.

Bonne continuation.

[Camille]

Alors voilà mes calculs.

• Racine de (1+h)-racine de(1), le tout sur h.
• J'élève tout au carré. Ce qui me donne : racine de (1+h)²-racine de(1)², le tout sur h².
• J'ai donc; (1+h)² - 1, le tout sur h.
• J'obtiens; \(\frac{1+2h+h^2-1}{h}\)
• Ce qui me donne finalement; \(\frac{2}{1}\) +h

• \(\lim_{h \to \0} 2+h\)= \(\frac{2}{1}\)

J'utilise f(1+h) = hf'(1)+f(1)

• \(\sqrt{1+h}\)= \(\frac{2}{1}\)h+1

Voilà ce que j'obtiens.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Ici tu utilises ces deux formules comme si elles étaient différentes. Or ces deux formules sont liées, la deuxième s'obtient à partir de la première ; tu "tournes en rond". Je te propose de reprendre le message d'avant et de suivre la démarche proposée.

Bonne continuation.

[Camille]

Je n'utiliserai donc qu'une seule formule ?
Celle que vous m'avez proposé, c'est bien ça ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Camille,

Oui !

SoSMath.

[Camille]

Bon, alors voilà, j'ai beau me creuser la tête, je ne vois pas, mais alors pas du tout comment je peux faire.
Si j'utilise uniquement cette formule, je ne peux pas connaître f'(1).
Or, c'est une démonstration que j'ai à faire, je dois prouver que la racine de (1+h) est bien égale à 1+(1/2)h.
Je ne vois pas du tout comment faire.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Camille,

Tu utilises la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\). Pour h proche de zéro, tu sais que \(f(1+h)=hf^{,}(1)+f(1)\).
Tu sais que f'(x)=... donc f'(1)=... et f(1)=... f(1+h)=....
La formule te permettra de conclure que pour h proche de zéro, \(\sqrt{1+h}=1+\frac{1}{2}h\).

Bonne continuation.

[Camille]

Non, mais ça m'dépasse.
Je ne vois absolument comment je peut trouver f'(x) sans utiliser la première formule.
Quoi que je fasse, je retombe toujours sur (2/1).

[SoS-Math(7)]

Bonjour Camille,

N'as-tu pas vu en classe la dérivée de la fonction \(f(x)=\sqrt{x}\) ?

A bientôt

[Camille]

Bien sûr que si.
Seulement, c'est une démonstration que j'ai à faire, je suppose donc que je n'ai pas le droit de m'en servir.
Je ne peux pas dire que la racine de x est égal à (1/2racine de x) sans le prouver, si ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Et bien si Camille ici la démonstration consiste à démontrer cette approximation pour h proche de zéro pas à démontrer la dérivée de la fonction.

Bonne continuation.

[Camille]

Ah, oui, j'voyais pas ça comme ça.
Merci, en tout cas !
Ce sera plus facile maintenant.

[SoS-Math(7)]

Bonne continuation et à bientôt sur SOS Math