Exercice derivée et tangente, 1ere S

[Themo]

J'ai quelques difficultés pour terminer cet exercice.

On considère la fonction f définie par f(x)=(x²-x)/(x²+1).

1)Justifier que f est définie et dérivable sur IR

2)Calculer f'(x) et étudier son signe.

3)Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [-7;7]

4)Le plan est rapporté à un repère orthogonal d'unités 1cm en abscisse et 5cm en ordonnée.
Tracer la représentation graphique (C) de f pour x appartient à l'ensemble [-7;7].

5)Déterminer l'équation de la tangente t à la courbe (C) en son point d'abscisse 0.
Préciser la position de (C) par rapport à t.

6)Représenter sur le dessin précédent les tangentes t.

____
1) f est définie et dérivable sur IR car f(x)>0. (x²>x).

2)La fonction f est de la forme U/V = ( U'.V - U.V' )/ V²
U' = 2x-1 V' = 2x

Je trouve :
f'(x) = (x²+2x-1)/(x²+1)²

F'(x) est du signe de x² + 2x - 1 car (x²+1)² > 0.

Soit x²+2x-1, de la forme ax²+bx+c.
Calculons le discriminant D

D=8, >0 donc 2 racines sont admises.

x1 = (-2-2racinede2)/2 x2 = (-2+2racinede2)/2

Je fais le tableau de signes, je trouve
f(x) > 0 sur l'ensemble ]-\(\infty\);x1x2;\(\infty\)[
f(x)< 0 ]x1;x2[
f(x) = 0, S = (x1;x2)

3) et 4) Étant donné que je n'ai pas aboutis mes précédents résultats, je sèche.

5) Soit y=f'(a)(x-a)=f(a)

f'(0) = -1
f(0) = 0

L'équation de la tangente t à la courbe (C) en son point d'abscisse 0 est de y=-1(x-0)+0.
Soit y=-1x.

D'avance, merci de votre aide.

[sos-math(19)]

Bonsoir Themo,

Question 1 : f n'est pas strictement positive sur R. Revois la règle de dérivation d'un quotient et rappelle-toi qu'une fonction polynôme est dérivable sur R.

Question 2 : Le calcul de la dérivée est correct. Les racines du numérateur sont correctes, mais tu peux simplifier les résultats par 2. Ton étude de signe est correcte. On peut dire que tu as pratiquement abouti dans cette question.

Question 3 : Avec le signe de f'(x) (question 2), tu devrais établir le tableau de variations de la fonction f. Pour cela, il faut revoir le théorème fondamental sur le sens de variation et le signe de la dérivée.

Question 4 : Tu complètes les informations du tableau de variations par un tableau de valeurs avant de passer au traçage de la courbe représentative de f.

Question 5 : La tangente au point d'abscisse 0 a bien l'équation y=-x. Pour étudier la position relative de la courbe par rapport à cette tangente, il faut étudier le signe de f(x)-(-x), c'est-à-dire le signe de f(x)+x et conclure.

Question 6 : La représentation de la tangente t d'équation y=-x ne pose aucun problème.

Allez, courage, tu as pratiquement terminé.