statsiques-somme des écarts absolus

[emilie]

Bonjour je suis élève de 1S et pour un dm de maths j'ai l'exercice suivant à faire or la question 2 et 3 me pose un problème pouvez vous m'aider ?


voici l'énoncé :


Somme des écarts absolus


x1<x2< ... < xn Pour tout rée a, on note f(a)= Σ|xi-a| avec sur Σ un n et en dessous i=1


1. Démontrer que
a) si a appartient ]-infini; x1[ alors f(a)=k1-na où k& ne depend pas de a
b) si a appartient [xj ; xj+1[ ( j appartient {1,...., n-1}), alors f(a) = (2j-n)a+ k2 où k2 ne dépend pas de a
c) Si a appartient [xn;+infini[, alors f(a) = na +k3 où k3 ne dépend pas de a


2. On suppose n impair, n= 2p+1
a) Etudier les variations de f.
b) vérifier que le minimum de f est atteint lorsque a=xp+1, c'est a dire la médiane de la série


3 . On suppose n pair, n=2P
a) étudier les variations de f.
b) vérifier que le minimum de f est atteint en tout réel a de l'intervalle [xp ; xp+1] en particulierlorsque a est égal à la médiane de la série

moi j'ai calculé les dérivés pour trouver les variations de f, mais le problème c'est que pour le deuxième cas (avec xj) je n'arrive pas à trouver ce qu'il faudrait ..... soit d'abord décroissante puis décroissante

[SoS-Math(11)]

Bonjour Emilie,

Tu as bien commencé, d'après le 1°) la dérivée est :
- \({-n}\) si \(x<x_1\) donc négative,
- puis, pour \({x_1}\leq{x}\leq{x_n}\) la dérivée est \(2j-n\) qui est négative tant que\(j\leq{x_p}\) puis nulle pour \(n=x_p\) puis positive pour \(x\geq{x_{p+1}}\). Dans ce cas tant que tu n'es pas à la moitié de l'effectif \(\{2p+1}{2}\) la dérivée est négative puisque \(2j<n\), au dessus de la moitié \(2j>n\) donc la dérivée est positive et elle s'annule pour le terme du milieu \(x_p\)
- puis, pour \(x>x_n\) alors la dérivée est \(n\) donc positive
Tu as bien une fonction décroissante puis croissante et le minimum en \(x=x_{p+1}\).

Adapte ceci pour la question 3.

Bon courage

[SoS-Math(11)]

Attention il ya une coquille dans le message : la moitié est \(\frac{2p+1}{2}\) pas \(\{2p+1}2\).
Ce qui donne pour les valeurs de la série : de \(x_1\) à \(x_p\) première moitié puis \(x_{p+1}\) au milieu puis de\(x_{p+2}\) à \(x_{n}\) seconde moitié.

Bonne continuation

[Emilie]

merci beaucoup, pour votre aide, cependant, je ne comprends pas vraiment la partie avec xj pouvez vous me la réexpliquer s'il vous plait ?
est ce que cela veut dire que xp est égal à xj ? ce n'est pas possible ....

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Emilie,

Il n'y a pas \(x_p=x_j\), il y a \(x=x_p\).
En résumé, tu as \(n\) valeurs d'une série {\(x_1\) ; \(x_2\) ....\(x_n\)}.
La fonction que tu étudies dépend de la valeur de \(x\) et de sa position par rapport aux \(x_i\).
Si \(x\) est situé entre \(x_5\) et \(x_6\) tu as \(f(x)=(x-x_1)+(x-x_2)+...(x-x_5)+(x_6-x)+(x_7-x)+.....+(x_n-x)\).
Tu as donc \(f(x)=(5-(n-5))x+k_2=(10-n)x\). La dérivée est \(f^,(x)=10-n\).
Si tu as moins de 10 valeurs alors elle est positive, si tu as plus de 10 valeurs elle est négative, si tu as 10 valeurs elle est nulle, pour n'importe qu'elle valeur de \(x\) entre \(x_5\) et \(x_6\).
Si tu as 11 valeurs : pour \(x<x_6\) : \(f^,(x)=10-n\) et elle est négative, pour \(x>x_6\) : \(f^,(x)=12-n\) elle est positive, pour \(x=x_6\), \(f(x)=(x-x_1)+(x-x_2)+...(x-x_5)+(x_6-x)+(x_7-x)+.....+(x_11-x)\) comme \(x_6-x=0\) on a \(f(x)=-x_1-x_2+....-x_5+x_7+x_8+...x_11=k_2\), \(f(x_6)\) ne dépend plus de \(x\) et \(f^,(x_6)=0\).

Tu peux généraliser à \(n=2p\) pair puis à \(n=2p+1\) impair.

Bonne continuation

[Emilie]

Veillez m'excuser de ne pas vous avoir répondu plus tôt, mais je voulais vous remercier pour votre aide qui m'a beaucoup aidée.
En vous souhaitant une très bonne continuation.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Emilie,

SoSMath.