Dérivés et approximation affine

[eloïse]

Bonjour, je suis élève en 1S et j'ai un devoir maison à rendre or je coince à un exercice pouvez vous m'aider ?

Voilà le sujet :

F est la fonction définie sur R / {-5} par : f(x)=2/(x+5)

a) Déterminer l'approximation affine de f(-1+h) pour h proche de 0, associée à f.

J'ai réussi cette question grâce à la formule de l'approximation affine et j'ai obtenu -1/8 *h + 1/2
j'espere qu'elle est juste.

b) Démontrer que pour -1 <ou= h < ou = 1, l'erreur commise en remplaçant f(-1+h) par f(-1)+hf'(-1) est majorée par 1/24*h²

J'ai essayé à l'aide de la formule de Phi de calculer l'erreur commise tel que :
Phi(x)(x-a) = f(x) -f(a)+f'(a)(x-a)
Ou ici Phi(x)(x-a) = f(-1+h) - F(-1)+hf'(-1)

Or f(-1+h)=2/(-1+h+5)=2/(4+h) et par la question a) ; F(-1)+f'(-1)h= -1/8*h+1/2

On a donc : Phi = 2/ (4+h) -(-1/8*h+1/2) = (16 -4(4+h) +h(4+h) ) / (8(4+h) = h²/(8(4+h)

Mais a partir de la je ne sais plus quoi faire mon phi est-il faux ? Comment savoir si l'erreur commise est majorée de 1/24 * h².

Merci de votre aide .

Eloïse

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Eloïse,

Tes calculs sont exacts.
Si tu as \({-1}\leq{h}\leq{1}\) tu peux en déduire \({-8}\leq{8h}\leq{8}\) puis que \({24}\leq{32+8h}\leq{40}\) et \(\frac{1}{24}\geq{\frac{1}{32+8h}\geq{\frac{1}{40}\) à partir de là tu dois pouvoir conclure.

Bonne continuation

[éloïse]

Merci beaucoup pour votre aide.

en effet on peut conclure que puisque l'erreur commise est majorée par 1/24 elle sera donc majorée par h²/24
Par conséquent on a démontrer que phi est majorée par h²/24
C'est exact ?

Je vous remercie pour l'aide que vous m'avez apporté. L'exercice me semble plus clair.