operation de fonction et demonstration a l'aide de fonction

[hugo]

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Svp, cela fait plusieurs jours que je bosse sur cette question sans trouver aucune solution ou meme debut de solution...
Soit un trapeze ABCD dont les cotes obliques se coupent en O et les diagonales en I. On se propose de demontrer en utilisant le somme de deux fonctions que la droite (OI) passe par les milieux des cotes paralleles.
Pour cela, on a muni le plan d'un repere (O,I,J) comme indiquer sur la figure si dessus, la droite (AB) etant le suport de l'axe des abscisses et l'axe des ordonnees etant paralleles a (AD).

A :
demontrer que si les droites (AC) et (BD) represente respectivement deux fonctions affines F et G alors la somme S=F+G est representer par la droite (CD).

B :
Deduire de la question A que O est le milieu de [MN] ou M et N sont les points d'intersections respectifs des droites (AC) et (BD) avec l'axe des ordonnees et que la droite (OI) represente la fonction (1/2)*S

C :
Demontrer que la droite (OI) passe par les milieux des cotes paralleles.

[sos-math(21)]

Bonjour,
On peut essayer de travailler avec les vecteurs :
dans ce repère tu as les coordonnées suivantes :
\(A(\alpha,0),\,B(\beta,0),\,C(\beta,\gamma),\,D(\alpha,\delta)\), le parallélisme se traduisant par des abscisses ou des ordonnées identiques.
Détermine alors les coordonnées des vecteurs suivants : \(\vec{AC},\,\vec{DB},\,\vec{DC}\),
Calcule alors la somme \(\vec{AC}+\vec{DB}\), tu dois voir qu'il y a un lien avec \(\vec{DC}\),

[hugo]

C'est bon j'ai reussi la A et la B !!!!
Par contre je n'arrive pas a la C pourriez vous me donner une indications pour savoir comment commencer ?
merci d'avance...

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Hugo,

Tu as donc montré que (OI) est la représentation graphique de la fonction \(\frac{F+G}{2}\).
Ceci signifie que à chaque valeur de \(x\), correspond un point sur la droite (AB) de coordonnées (x;F(x)), un point sur la droite (DC) de coordonnées (x; G(x)) et un point sur la droite (OI) de coordonnées (x; \(\frac{F(x)+G(x)}{2}\)) ; ce dernier point est donc le milieu des deux autres.

Ici, tu sais que (AD) est parallèle à (BC) et ces droites sont parallèles à l'axe des ordonnées. Cela signifie donc que les abscisses des points A et D sont égales, ainsi que les abscisses des points B et C. La remarque d'avant permet de conclure.

Bonne continuation.