DM de maths - problème de déduction

[Timothée]

Bonjour,

Dans un devoir maison de mathématiques (de 1eS), certaines questions me posent un grand problème ; en voici l'énoncé :


1) * Factoriser :

\(X^2-8X-9\)
(comme vous pouvez le voir, ce sont des grands X)

* En déduire une factorisation de \(x^4-8x^2-9\)

2) Soit \(P(x) = -2x^5+x^4+16x^3-8x^2\)
* Calculer P(1/2)
* En déduire une factorisation de P(x)

3) Utiliser les questions 1 et 2 pour factoriser complètement P(x)

4) Résoudre l'inéquation
\(\frac{P(x)}{(-2x^2-13x-21)(x+4)}\leq0\)



J'ai réussi à factoriser \(X^2-8X-9\) du 1)
Cela m'a donné : \((X-4-\sqrt{7})(X-4+\sqrt{7})\)
(bien que je ne sois sûr qu'à 99%). En effet, la question des grands/petits x me déconcerte.

Par contre, je ne vois pas du tout pour la suite, où il faut factoriser x^4... Comme il n'y a pas =0 ou toute autre marque d'équation, inéquation, je ne pense pas pouvoir utiliser la technique de l'équation bicarrée...

Pour le 2), j'ai calculé P(1/2), ce qui, au final, m'a donné 0.
De même, je n'arrive pas à "déduire" la factorisation de P(x) ; qui plus est, la question 3) me déconcerte vraiment. Faut-il faire deux factorisations ?

Je vous remercie par avance.

[Timothée]

Durant l'attente de la validation, j'ai vérifié mon premier calcul, qui était faux.
J'ai donc trouvé :

(X+9)(X-1)

Qui, au final, en substituant X par x², permet de retrouver la factorisation de x^4...

Voilà, aucun problème pour le 1)

[sos-math(20)]

Bonsoir Timothée,
L'idée de votre exercice est de se ramener à l'étude de polynômes de degré 2 car c'est le seul degré pour lequel on ait des résultats dans le cours.

2) Pour cette question, on voit tout de suite que \(x^2\) peut se factoriser dans \(P(x)\).
Ensuite, puisque \(P(\frac{1}{2})=0\), un résultat de cours nous permet d'affirmer que l'on peut factoriser \((x-\frac{1}{2})\) dans \(P(x)\). Connaissez-vous ce résultat ?
Finalement \(P(x)\) va s'écrire sous la forme \(P(x)=x^2(x-\frac{1}{2})Q(x)\) où \(Q(x)\) est un polynôme de degré 2 de la forme \(ax^2+bx+c\). Il vous reste à trouver les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) en utilisant la méthode qui doit figurer dans votre cours ou dans votre manuel.

3) Pour compléter la factorisation de \(P(x)\), il vous reste à factoriser la partie \(ax^2+bx+c\) précédente.
(par contre, êtes vous sûr de l'expression de \(P(x)\) que vous avez écrite ? Je ne vois a priori pas de lien avec le 1) ).

[Timohée]

Merci pour ces indications.
Il y a quelques minutes, j'ai fait \((x-\frac{1}{2})P(x)\), ce qui m'a donné comme solution - par identification - \((x-\frac{1}{2})(-2x^4+16x^2)\)

Apparemment, dans le 3), il faudrait donc trouver quelque chose revenant au second degré ?
(Et oui, c'est bien ce qu'il y a marqué dans le DM).

[Timothée]

Tout va bien, le problème est résolu :)

[sos-math(20)]

Bonjour,

Votre factorisation de \(P(x)\) est correcte.
A bientôt.

SOS-math