calcul de grandeurs dans exercice géométrie

[matheuse38]

Bonjour à tous,
Voici l'exercice sur lequel je buche depuis un moment et que je n'arrive toujours pas à résoudre!

Le triangle ABC est équilatéral et les droites (D), (D') et (D'')
sont des droites parallèles passant respectivement par les sommets C, A et B. On note a la distance de (D) à (D') et b celle de (D) à (D''); on se propose de calculer, en fonction de a et b, l'aire du triangle ABC.
1) Le cercle circonscrit à ABC recoupe la droite (D) en un point P.
Montrer que AP = 2a/sqrt(3) et que BP = 2b/sqrt(3).
2) En déduire que : AB^2 = 4 (a^2 + b^2 + ab)/3.
3) Calculer l'aire du triangle ABC en fonction de a et b.

J'ai codé ma figure en faisant apparaitre les cotés égaux, les angles égaux, etc.
Je pensais aussi utiliser le produit scalaire mais je ne sais pas dans quel repère orthonormé me placer.

Merci d'avance à ceux qui pourront m'apporter un peu d'aide.

[sos-math(19)]

Bonsoir Matheuse38,

Es-tu certaine que la figure est correcte ?

Question 1 :
On appelle H le pied de la perpendiculaire à (D') passant par P et K le pied de la perpendiculaire à (D'') passant par P.

Tu peux montrer que les triangles AHP et BKP sont rectangles demi-équilatéraux.

Différents cas de figures peuvent être envisagés selon la position de P sur le cercle.
Tu devras mettre en œuvre les propriétés des angles inscrits, ainsi que les angles définis par une sécante à deux parallèles.

Il peut être utile de construire une figure dynamique avec geogebra par exemple.

Bon courage.