propriété caractéristique centre de gravité

[Cédric]

Bonjour,
il s'agit de démontrer que
vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)= vect(0) <=> G centre de gravité de ABC

Ma proposition :
j'arrive à montrer assez facilement que :
1)vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)= vect(0) <=> vect(AG) = 2/3 vect(AI)
2) vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)= vect(0) <=> vect(BG)=2/3 vect (BJ)
3) vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)= vect(0) <=> vect (CG)=2/3 vect (CK)

où I, J et K sont les milieux respectifs des côtés.
De 1), j'en déduis que vect (AG) et vect (AI) sont colinéaires donc que G appartient à la médiane issue de A.
De 2), j'en déduis que G appartient à la médiane issue de B.
De 3), j'en déduis que G appartient à la médiane issue de C.

Il en résulte que G est le centre de gravité de ABC.
J'ai donc prouvé que si vect(GA)+vect(GB)+vect(GC)= vect(0) alors G est le centre de gravité de ABC.

Mais comment faire pour montrer la réciproque, ne sachant au départ que le fait que G est le point d'intersection des médianes ???
Merci
cordialement,
Cédric

[sos-math(12)]

Bonjour Cédric :

Pour ta réciproque il me semble que tu sais un peu plus de choses sur le centre de gravité. Par exemple tu sais que \(AG=\frac{2}{3}AI\) ; \(BG=\frac{2}{3}BJ\) et \(CG=\frac{2}{3}CK\).
Cela devrait te permettre de mener à bien ta réciproque.

Bonne chance.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir, je vais compléter la réponse de mon collègue.
Une des méthodes consiste à utiliser le point G' symétrique de G par rapport au milieu A' du coté BC pour démontrer que BGCG' est un parallélogramme
Si vous avez des difficultés, voici un article sur Chronomath que vous pouvez consulter : http://serge.mehl.free.fr/anx/centr_grav.html
Bon courage

[Cédric]

Bonjour,
pour la première réponse apportée, je ne comprends pas car on part de l'hypothèse où G est le point d'intersection des médianes et donc on ne sait pas que vect(AG) = 2/3 vect() AI etc.
Merci,
Cédric

[SoS-Math(2)]

Bonjour Cédric
Effectivement vous ne savez pas que vect(AG) = 2/3 vect(AI) etc ...
Si vous considérez G point d'intersection des médianes [BK] et [CJ], en utilisant le point G' sym de G par rapport à I milieu de [BC], le parallélogramme BGCG' et le théorème de thalès dans le triangle AG'C vous pouvez montrer que vec(BG) = 2 vec(GK) si K est le milieu de [AC]
A vous de continuer