Etude d'une fonction trigonométrique

[Visiteur]

Bonsoir,
Je voulais solliciter votre aide pour un exercice sur la trigonométrie.

En fait je dois faire l’étude complète de la fonction f définie sur R par : f(x)=2sinx+x
J’ai trouvé par calcul que c’est une fonction IMPAIRE (f(x) = f(-x))
Puis, une partie de cette question me pose problème :
« Une propriété spéciale : soit Mo ( x0 ; f(x0) ) et M1 ( x0 + 2π ; f(x0 + 2π) ).
Après avoir exprimé f(x0 + 2π) en fonction de f(x0), représentez les points M1 et M0. Déduisez-en les composantes du vecteur M0M1 et trouvez une propriété de la courbe représentative de Cf […]

Je pense que la réponse est f(x0 + 2π) = f(x0) + 2π mais ça me paraît trop simple…
Et pour la propriété je ne sais pas comment m'exprimer... En plus d'être périodique pour les abcisses, elle l'est aussi pour les ordonnées..

J’ai ensuite expliqué que l’on peut réduire son Domaine d’Etude à [0 ;π] car cette fonction est périodique de période 2 π est impaire.
Après avoir dressé son tableau de signe, je dois trouver les équations complètes des tangentes à Cf aux points d’abscisse 0 et π.
Dans mon tableau de signe, j’ai trouvé que la pente de la courbe au point d’abscisse 0 était 3 et sa pente est de -1 au point d’abscisse π. Mais je n’arrive pas à calculer b (y=ax+b), du moins, il ne correspond pas à mon schéma.
J’avais commencé à écrire (pour l'ECT au point d'abcisse 0 par exemple :
y = ax + b
y = 3x+b
(π) = 3 (π) + b
Donc b serait égal à π/3π, ce qui n'est pas possible…
Je ne comprends pas ma faute..

J’espère que vous m’aurez compris…
Merci de votre aide !

[SoS-Math(11)]

Bonsoir ?

La tangente en 0 passe par le point d'abscisse 0 et d'ordonnée f(0) = 0, donc tu as la valeur de "b" qui est l'ordonnée à l'origine, je pense que tu t'es compliqué le travail.
Le reste ma semble correcte.
Pour la tangente en \(\pi\) tu as un coefficient négatif et l'ordonnée à l'origine qui est un multiple de \(\pi\).

Tu as raison, "elle" est "périodique" aussi en ordonnée, le vecteur M0M1 dirige la première diagonale d'équation y = x

Bon courage pour la fin

[Visiteur]

Merci beaucoup pour vos explications! J'ai finalement réussi à calculer les ECT qui sont les suivantes :
y=3x au point d'abcisse 0
y=-x+2π au point d'abcisse π .
Après les avoir tracées sur ma calculatrice, je pense que mes résultats sont corrects. Je ne sais pas pouquoi j'étais restée bloquée sur cet exercice... Bref

Il me reste un dernier petit problème que j'avais oublié d'évoquer tout à l'heure..
Toujours pour cette fonction (f(x)=2sinx+x), je dois calculer f' et son signe.
f'(x) = 2cosx+1
Et dans mon tableau de variation, j'ai trouvé que de [0;2π /3] f' était positif, puis nul en 2π /3 et finalement négatif en π .
J'ai trouvé le calcul pour dire que la pente était nule en 2π /3 mais je ne vois pas comment prouver par calcul lorsqu'elle est positive ou négative.

Merci beaucoup pour votre aide précieuse!
Bonne soirée!

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Tout est OK.

Pour le signe de la dérivée, pense au sens de variation de la fonction cosinus de 0 à \(\pi\).
Pour 0 f'(x) = 3 donc tu peux conclure.

Bonne continuation et bonne fin de soirée.