Exercices application de la fonction dérivée.

[Daphné]

Bonjour, pour la rentrée nous avons des exercices à faire sur une leçon que nous venons tout juste de commencer, et c'est pour cela que je voudrais savoir si mes méthodes sont les bonnes. Merci beaucoup pour votre future aide!
Daphné.

I) Etudiez les variations de la fonction f.

1) f(x) = -x^3 + 3x² + 9x -4
Df = R
f '(x) = -3x² + 6x +9 9
Delta = 144, il y a deux racines qui sont : -1 et 3

Tableau de variations:

x -oo -1 3 +oo

f ' - 0 + 0 -


de -oo à -1 la courbe est décroissante en -9, de -1 à 3, la courbe est croissante en 23 et de 3 à +oo la courbe est décroissante.
Est-ce la bonne méthode?


2) f(x) = (-3x) / (1 + x²)
Df = R
f '(x) = 3x² - 3 / ( 1 + x²)²
Delta = 36 > 0, il y a dont deux racines qui sont : -1 et 1

Tableau de variations :

x -oo -1 1 +oo

f ' : 3x² - 3 / ( 1 + x²)² + 0 - 0 +

De -oo à -1, f est croissante en 3/2, de -1 à 1 f est décroissante en -3/2 et de 1 à +oo, f est croissante.Est-ce la bonne dérivée? Car j'ai essayé d'appliquer (1/v)'
avec f(x) = -3x * [(1) / ((1 + x²)]mais cela ne donnait pas le même résultat... Et dans le tableau de variation est-ce que l'on doit tenir compte du dénominateur de la fonction dérivée ou ce n'est pas nécéssaire vu que x est du même signe que le numérateur? Merci.

3) f(x) = x racine de x + 3

Df = [-3; +oo[

Pour la dérivée j'applique (uv)', est-ce la bonne formule ?
Cela me donne : f '(x) = (racine de x +3) + (x) / (2 racine de x+3)
Je ne savais pas si je devais réduire au même dénominateur, mais en le faisant j'obtiens ...une "horreur".
Comment dois-je faire pour étudier les signes ? Merci.

II)

Démontrez que l'équation (x^3) / (1 + x) = 1 admet dans l'intervalle [1;2] une unique solution.

J'ai fais passer le 1 de l'autre côté :

(x^3) / (1+x) - 1 = 0

(x^3-1-x) / (1+x) = 0

D'après le théorème, si f(a) et f(b) sont de signes contraires alors l'équation f(x) = 0 admet une seule solution dans l'intervalle [a;b]

Avec f(1) = -1/2
Avec f(2) = 5/3

Comme f(1) et f(2) sont de signes contraires alors l'équation de départ n'admet qu'une solution.

Que dois-je faire d'autre?

Merci!

[SoS-Math(7)]

Bonjour Daphné

1) Le travail fait pour f est juste.

2) C'est également juste. Si tu veux utiliser la dérivée de 1/u, tu peux mais alors ta fonction est de la forme (uv)'=u'v+uv'. où v est la fonction du type 1/u...
Pour le signe de la dérivée, il n'est pas nécessaire de tenir compte du dénominateur car comme tu l'as dit, il est positif !

3) La dérivée est juste, il faut effectivement la mettre sous forme d'une fraction.
\(f'(x)=\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}=\frac{2(\sqrt{x+3})^2+x}{2\sqrt{x+3}}\) on travaille avec x+3>0... Je te laisse simplifier ce calcul.
Le dénominateur est positif, donc f' est du signe du numérateur, l'étude est relativement simple.

4) Le théorème est bien choisi mais pour pouvoir l'utiliser il faut démontrer que la fonction est monotone sur l'intervalle (strictement croissante ou strictement décroissante) !

Bonne continuation.

[Daphné]

Bonjour, merci pour votre réponse.
Si j'ai bien compris, pour le quatrième exercice il faut faire un tableau de variation afin d'appliquer le théorème? (Je ne vois pas très bien l'intérêt, en fait il ne faut pas que la fonction soit constante c'est ça?)
Donc il faut factoriser la dérivée ce qui donne x(x²-1) - 1, et on utilise seulement (x²-1) ?

x -oo 1 2 +oo
f ' + 0 - 0 +

Sur l'intervalle [1;2] la fonction est décroissante.
J'ai comme l'impression que c'est... tout faux! S'il vous plaît, pouvez-vous m'expliquer? Merci!

Pour le troisième exercice, vous dîtes " on travaille avec x+3>0 ", mais en simplifiant j'obtiens (racine de x + 3) + x au numérateur. On ne se sert pas du x hors de la racine?

Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

Tu veux résoudre l'équation (x^3-x-1)/(1+x)=0.
Donc la fonction que tu dois étudier , c'est la fonction f définie par f(x)=(x^3-x-1)/(1+x)

Tu dois calculer la dérivée, et montrer que cette fonction f est strictement croissante sur [1; 2] et continue.

Or la fonction que tu as étudié ne semble pas être la bonne.

Pour l'exercice 3, la racine carrée est élevée au carré, dans l'expression de la dérivée( voir le message de mon collègue), donc c'est facile, d'autant plus que x+3>0, pour que la fonction soit définie.

sosmaths

[Daphné]

Bonsoir,

En dérivant f(x)=(x^3-x-1)/(1+x), j'obtiens (2x^3-3x²) / (1+x)²
Est-ce la bonne dérivée?
Ainsi on se sert du numérateur 2x^3 - 3x², et on le factorise ce qui donne : x(2x²-3x)
On calcule le discriminant dans 2x²-3x : Delta = 9, il y a deux racines : 0 et 3/2

Cela fait :

x -oo 0 3/2 +oo

f ' + 0 - 0 +

Je pense qu'il y a un problème, normalement je ne devrais pas trouver 1 et 2 comme solutions?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(4)]

je trouve plutôt 2x^3 +3x² au numérateur, peux tu vérifier ?
Ensuite tu mets x² en facteur, ça évitera de calculer un delta.

Tu trouves pas 1 et 2 comme racine de la dérivée mais ça n'a pas d'importance .

sosmath

[Daphné]

Bonsoir,

oui désolé c'est bien 2x^3 + 3x² au numérateur !
Donc on obtient : x²(2x+3)
x= -3/2

x -oo -3/2 +oo
f ' - 0 +

La fonction est croissante de -3/2 à +oo

Mais faut-il ajouter quand même le 0 dans le tableau de variation? C'est plus précis je trouve.

x -oo -3/2 0 +oo
f ' + 0 - 0 +

La fonction est croissante de 0 à +oo

Merci de votre aide!

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

La fonction croissante de -3/2 à l'infini donc croissante sur [1;2].

A bientot, bonnes fêtes

sosmath

[Daphné]

Bonjour,

Merci beaucoup de votre précieuse aide!
Bonnes fêtes également à vous.