Exercice barycentre

[Tibo]

Bonjour, j'ai des difficultés sur un exercice sur les barycentres.

On considère un triangle quelconque ABC. On définie les points M, N et P par:

(Vecteurs) AM=-1/3AB, BN=-1/3BC et CP=-1/3CA

Prouver que les triangles ABC et MNP ont le même centre de gravité.

Aide: Introduire le repère ( A; AB; AC) .



J'ai commencer mais je suis pas du tout sûr:

On connait les cordonnées du point A(0;0) B(1;0) et C(0;1) car c'est le repère ( A;AB;AC).
AM= -1/3AB donc M a pour coordonnées (-1/3;0)
CP= -1/3CA donc P a pour coordonnées (0;4/3)

Je calcule les coordonnées du point N :
BN=-1/3BC

xN-xB=-1/3*(xC-xB)
yN-yB=-1/3*(yC-yB)

xN=-1/3(0-1)=+1=1/3 +1 = 4/3
yN=-1/3(1-0)+0=-1/3

Donc N a pour coordonnées (4/3;-1/3)

Donc j'ai A(0;0) B(1;0) C(0;1) M(-1/3;0) N(4/3;-1/3) et P(0;4/3)


Soit G barycentre de {(A;1)(B;1)(C;1)}
xG=(alpha xA+Beta xB + Y xC)/ (alpha+beta+Y)
= (xA+xB+xC)/3
=1/3

yG=(yA+yB+yC)/3
=1/3

Donc G a pour coordonnée (1/3;1/3)

Soit H barycentre de {(M;1)(N;1)(P;1)}

xH= (xM+xN+xP)/3 = 1/3
yH= (yM+yN+yP)/3=1/3

Donc H a pour coordonnées (1/3;1/3)

G et H ont les même coordonnées.

Voila ce que j'ai fait, je sais pas si c'est juste et je ne sais pas comment faire la suite, pour justifier que les triangles ABC et MNP ont le même centre de gravité.

Merci d'avance :)

[SoS-Math(2)]

Bonjour Tibo,
tous vos résultats sont corrects
Je ne comprends votre dernière phrase

Voila ce que j'ai fait, je sais pas si c'est juste et je ne sais pas comment faire la suite, pour justifier que les triangles ABC et MNP ont le même centre de gravité.

Vous avez prouvé que G=H donc c'est fini.
Avez-vous oublié que le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre de ses sommets.
A bientôt

[Tibo]

Je viens de relire ma leçon, en faite l'exercice est est fini...
Je me souvenait plus que comme G=H alors les point étaient confondus.
Merci :)

[SoS-Math(2)]

Bonne remarque
A bientôt sur SoS-Math