DM fonction

[tibo]

Bonjour, voila l'exercice que j'ai à faire:

Exercice :

1) On dépose une bille sphérique de rayon 5cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16cm et contenant V0 cm3 d'eau. La surface de l'eau est tangente à la bille. ( l'eau arrive à une hauteur de 10cm sur le schéma )
Calculer le volume V0 d'eau contenu dans le récipient.

2) Pour les billes sphériques de rayon x cm, avec 0<=8(inférieur ou égale à 8), plongées dans le récipient contenant V0 cm3 d'eau, on se propose de savoir si la bille dépasse ou non de la surface de l'eau. On note V(x) le volume d'eau, en cm3, nécessaire pour recouvrir exactement la bille et on note f(x)= V(x)- V0
a) Vérifier que f(x) = 4/3pi (-x3 + 96x -355)
b) Démontrer que pour tout x ]0;8[ , f(x) = 4/3pi (x-5)(ax²+bx+c) où a,b,c sont des réels à préciser.
c) Existe t-il une valeur x0 de x , autre que 5 pour laquelle il y a affleurement ? Si oui , déterminer l'arrondi au dixième de x0.
d) Déterminer le signe de f(x), à l'aide d'un tableau de signes.
e) En déduire les valeurs de x, pour lesquelles les billes sont recouvertes par l'eau, et celles pour lesquelles les billes sortent de l'eau.


Voila ce que j'ai fais:

1)Vo= Volume cylindre- Volume bille
Volume cylindre = 4/3pi*8²10=640pi
Volume bille = 4/3pi*R² = 500/3pi
Vo= 640pi-(500/3)pi=1420/3pi

2)
a)Pour cette question pas de problème : à la place de mettre le rayon de la bille, j'ai mis x. Je trouve bien le bon résultat.

b) Je pense avoir juste, c'est juste pour la rédaction où j'aimerai savoir si c'est correct


On veut démontrer que f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c) x sachant déjà que f(x)=4/3(-5x^3+96x-355.
Résolvons l'équation (x-5)(ax²+bx+c)=0
ax^3+(b-5a)x²+(c-5b)x+5c
Par identification des coefficients des monômes de même degrés de 2 polynômes, on a :
a=-1
b-5a=0
c-5b=96
-5c=-355


a=-1
b=5a
-5b=96-c
-c=-355/5


a=-1
b=-5
c=71

Soit f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c) x
f(x)=4/3pi(x-5)(-x²-5x+71)

Voila je pense que c'est juste puisque je trouve pareil que vous mais j'aimerai savoir si la rédaction est bonne, ça serai bête de perdre des points à cause de ça.



Pourrais-je avoir de l'aide pour la question 2)c) S'il vous plait ?
Faut-il que j'utilise Δ avec f(x)=4/3pi(x-5)(-x²-5x+71) ?

[sos-math(19)]

Bonjour Tibo,

Bon travail jusqu'ici. Juste une petite remarque ici :

On veut démontrer que f(x)=4/3pi(x-5)(ax²+bx+c) x sachant déjà que f(x)=4/3(-5x^3+96x-355.
Résolvons l'équation (x-5)(ax²+bx+c)=0
ax^3+(b-5a)x²+(c-5b)x+5c

Tu ne dois pas résoudre l'équation (x-5)(ax²+bx+c)=0, mais seulement développer et réduire l'expression : (x-5)(ax²+bx+c), le but étant d'appliquer la méthode des coefficients indéterminés.

Tes résultats sont bons.

Pour la question 2c : toute solution de l'équation f(x) = 0 comprise entre 0 et 8 est solution du problème.
Ainsi, tu dois résoudre cette équation.
Pour cela, remarque bien qu'elle se présente sous la forme d'une équation-produit, ce qui facilite la résolution.

Bonne continuation.

sos-math

[tibo]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai fini l'exercice . :)

[sos-math(19)]

Bonsoir Tibo,

tu m'en vois ravi.

A bientôt sur sos-math.