Devoir maison de maths pour jeudi 12 janvier

[eleve86]

La commune de Courzydon sur l'Airbe veut construire un stade. Le projet prévoit que ce stade soit constitué d'un rectangle prolongé (dans sa plus grande dimension) par deux demi disques de dimètre égal à la longueur du petit côté du rectangle. Le périmètre P du stade constituera la piste d'athlétisme (de dimension réglementaire!). Par ailleurs, le maire souhaiterait que la partie rectangulaire puisse servir de terrain de football et pense que cela fonctionnera si le rectangle a la plus grande surface possible.

1. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale tel que le périmètre du stade soit la longueur d'une piste d'athlétisme réglementaire.
2. Est-ce que les dimensions obtenues pour le stade dans la question précédente permettent d'utiliser le rectangle comme terrain de football en respectant les dimensions réglementaires ?

Je voudrais que vous m'aidiez à faire ce devoir maison car je suis totalement perdue.
Pour la question 1 j'ai seulement marquée : "Une piste d'athlétisme a une longueur de 400m donc le périmètre du stade est de 400m." et je ne vois pas comment on peut trouver les dimensions du rectangle d'aire maximale.
Merci D'avance!

[sos-math(20)]

Bonjour,

Il faut, dans cet exercice, procéder par étapes :

1) Si tu appelles L et l la longueur et la largeur du rectangle, quel est le périmètre du stade en fonction de L et de l ? Par ailleurs, comme tu l'as précisé, le périmètre du stade sera de 400 m : te voilà donc avec une relation liant la longueur L et la largeur l de ton rectangle.

2) Quelle est la formule qui permet de calculer la surface du rectangle ?

3) En utilisant les étapes 1) et 2), essaie d'exprimer la surface du rectangle en fonction de sa largeur l.

4) L'étude de la fonction du 3) devrait te permettre de répondre à la question.

Bon courage.

SOS-math

[eleve86]

Merci pour vos explications mais je ne vois pas comment je peux faire même avec L et l.

[eleve86]

J'ai juste mis que :
Les deux demi-cercles sont identiques se qui forme donc une cercle.
Périmètre du cercle = 2 x pi x r
= 2 x pi x (l/2)
= ?
Pour trouver L:
400 - 2 x pi x (l/2)
= L + L

Donc L = L/2 = ?

Et je ne trouve pas non plus l = ?

[sos-math(20)]

Ce que tu écris là est correct :

Pour trouver L:
400 - 2 x pi x (l/2)= L+L=2L

Tu as donc\(L= 200- \frac { \pi \times l}{2}\) .

Maintenant, pense à revenir au problème qui nous intéresse ici : quelle est la surface du rectangle ? Essaie de l'exprimer uniquement en fonction de la largeur l, puis relis l'indication 4) que je t'ai donnée précédemment.

Bon courage.

SOS-math

[eleve86]

Merci beaucoup !

Enfaite je vois pas le rapport entre ce devoir maison et le chapitre qu'on fait en classe qui est les fonctions carrées et les fonctions polynôme du second degré! D'habitude les DM ont toujours un rapport avec le cours donc j'essaie d'exprimer la surface du rectangle en fonction de l avec les différentes formes de fonction polynôme que j'ai vu en cours mais je ne trouve pas. Est-ce qu'il y a un rapport ou pas ?

Je ne vois pas comment on peut ne pas utiliser L pour calculer une aire de rectangle. Et je ne comprends pas comment vous êtes passé de:
400 - 2 x pi x (l/2)= L+L=2L
à :
L= 200- ((pi x l )/2))

[sos-math(21)]

Bonsoir,
On passe de la ligne à la suivante : en divisant tout par deux, ce qui conserve l'égalité.
\(400 - 2 \times \pi \times\frac{\ell}{2}= L+L=2L\) si on divise tout par 2, on a \(400\div2=200\), \(2 \times\pi \times\frac{\ell}{2}\div 2=\pi\times\frac{\ell}{2}\) et \(2L\div 2=L\)
Une fois que tu as obtenu \(L=200-\pi\times\frac{\ell}{2}\), tu peux exprimer la surface \(\mathcal{A}_{terrain}=L\times\ell\) en fonction seulement de la largeur \(\ell\) et là tu verras apparaître une fonction polynôme du second degré...

[eleve86]

Merci encore une fois !

J'ai fais :
aire du terrain = L x l
= (200 - \(\frac {\pi \times \ l} {2}\)) x l

= 200l - \(\frac {\pi \times \ l \times \ l}{2}\)

= 200l - \(\frac {\pi \times \ l^2}{2}\)

Et après je suis encore bloquée ! Désolé ...

[sos-math(20)]

Tu vois bien que l'aire du terrain est en fait une fonction de l !!!

Étudie la fonction f définie par f(x) = ..., et trouve pour quelle valeur de x elle atteint son minimum : le voilà le lien avec le chapitre que tu aies en train d'étudier !

Bon courage.

SOS-math

[eleve86]

Bonsoir,
Je crois avoir tout compris et réussi à faire la suite mais je suis pas sûr. Voilà ce que j'ai fait :

200l - \(\frac {\pi \times \ l^2}{2}\)

Soit \(x\) la largeur l du rectangle.

\(f(x) = 200x - \frac {\pi \times x^2}{2}\)

D'après la table des valeurs de ma calculatrice (en rentrant la fonction), l'aire atteint son maximum soit 6366m² quand \(x = 64\). Donc la largeur du rectangle est de 64 m.

Pour trouver la valeur de L:
\(L = 400 - 2 \times \pi \times (\frac {l}{2})\)

\(L = 400 - 2 \times \pi \times (\frac {64}{2})\)

\(L = 400 - 2 \times \pi \times 32\)

\(L = (environ) 198,9 m\)

Ensuite pour la question n°2, j'ai mis :
Non, les dimensions obtenues pour le stade dans la question précédente ne permettent pas d'utiliser le rectangle comme terrain de football car la largeur d'un terrain de football est comprise entre 45 et 90m (la largeur c'est bon) et la longueur est comprise entre 90 et 120m (la longueur ce n'est pas bon).

Est-ce-que j'ai bien tout compris ?

Merci beaucoup!

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je suis d'accord avec ton maximum (63,66 ; 6366,2) mais je ne suis pas d'accord avec ta valeur de L : il doit y avoir un facteur 2 qui est en trop dans ton calcul.
Reprends-le, tu verras que tu obtiendras une valeur de L plus conforme.
Bon courage.

[sos-math(21)]

Je complète mon message en disant que :
\(L=200-\pi\times\frac{\ell}{2}\), donc la longueur que tu obtiens est le double de ce qu'il faudrait (tu as pris la valeur 2L).
Bon courage.

[eleve86]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour vos explications! Grâce à vous j'ai compris et désolé si je vous ai embeté avec mes questions.

Cordialement!

[SoS-Math(9)]

A bientôt,
SoSMath.