Aide sur DM de math - géometrie Arbel

[Stephane]

Exercice 1
Soit D un point du segment [AC]. On trace les demi cercles de diametre [AB], [AC] et [BC].
On trace la perpendiculaire de (AC) en D coupe le permier demi cercle C (demi cercle de diametre [AC]) de en E.
L on appelle Arbel la surface comprise entre les 3 demi cercles.

1. Demontrer que :
Le périmetre de l'arbel est indépendant de la position du point D sur [AC].
L'aire de l'arbel est égale à l'aire du disque de diamètre [DE]

2. Quelle la position du point D sur [BE], pour que cette aire soit maximale?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Sur ce forum, on ne fait pas le travail à la place des élèves.
Il faut que tu dises ce que tu as fait et où tu bloques...

Bon, pour la première question, il faut savoir comment calculer le périmètre d'un cercle.
On pourra appeler \(AD=x\), \(AB=a\) et donc, on aura \(BD=a-x\).

Pour la deuxième question, il faudra voir 3 triangles rectangles.

A bientôt.

[stéphane]

re bonjour et merci,

je ne suis pas l'élève mais le pere ... qui essaye de guider son fils avec qq notion d'il y a + 20 ans ... pas mince affaire je vous le dit ;))
Oui effectievement nous avions déjà démontrer la question 1 par ce bias
Pour la question 2 je pense qu'il faut que nous travaillons sur pytagore je vois bien les formules liées aux 2 triangles rectagles
mais j'ai un trou sur la formule du trangle inscrits dans un cercle et sa hauteur...

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Le triangle AEB est rectangle en E car il est inscrit dans un demi-cercle qui a pour diamètre le coté [AB]
Et pour calculer ED², vous pouvez comme vous le pensez appliquer le théorème de Pythagore dans les triangles ADE, ABE et BDE.
Bon courage
SoS-Math(2)

[stephane]

bsr...
et oui la je seche j ai bien les trois egalites avec pytagore mais je n arrive pas a trouve b² en fonction de x...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Vous m'avez l'air d'avoir bien travaillé donc je vais vous aider :
Dans cette figure on a trois triangles rectangles : deux qui sont évidents AED et DEB et un autre qui est obtenu avec le théorème de l'angle inscrit ; ABE est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés donc il est rectangle :
Cela fait donc 3 propriétés de pythagore à écrire :
\(AE^2=DE^2+AD^2\),
\(BE^2=DE^2+BD^2\)
\(AB^2=AE^2+BE^2\)
Il reste ensuite à exprimer l'aire de l'arbel en fonction de cela : on la définit par différence : \(\mathcal{A}_{arbel}=\frac{1}{2}\mbox{(aire du demi cercle de diametre [AB])}-\frac{1}{2}\mbox{aire}_{\mathcal{C}_1}--\frac{1}{2}\mbox{aire}_{\mathcal{C}_2}\)
A vous de reprendre la formule de l'aire d'un disque et de remplacer par des longueurs au carré, puis d'utiliser les relations de pythagore pour n'avoir plus que du \(DE^2\)

[stéphane]

Bonjour et oui nous ne lachons pas ;)
nous avions effectivement eu cette démarche dès le début

Nous avion donc
l'aire del'arbel : Pi*x(x+AC)/4
l'aire du disque de diamètre BD : Pi*DE²/4

Nous avions définie la totalité des formule avec Pytagore... mais nous bloquons sur le rapprochement
et la démonstration

Comment dois je faire pour pouvoir comparer les deux aires ?
Nous tentons de remplacer DE² dans les formules à partir des résultats trouver avec pytagore mais en vain...

Merci de votre aide

[stephane]

Dsl.... tellement évident que pas vu de suite .. désolé ...
nous avons trouvé la démonstration
Encore une fois merci ... il faut continuer à fonctionner comme vous faite ... euh même pour un papa cela lui permet de travailler et réfléchir ;)

Bon dimanche

[sos-math(21)]

Rebonjour,
Pour conclure
\(\mathcal{A}_{arbel}=\frac{\pi\,AB^2}{8}-\frac{\pi\,AD^2}{8}-\frac{\pi\,DB^2}{8}=\frac{\pi(AE^2+BE^2)}{8}-\frac{\pi(AE^2-DE^2)}{8}-\frac{\pi(BE^2-DE^2)}{8}\) et après on developpe et on réduit, il doit rester \(\frac{\pi\,DE^2}{4}\)...

[ines]

Bonjours je suis élève en classe de 2nd et j'ai eu le même exercice (pas en dm seulement pour s'exercer avant les épreuves communes) et j'aimerais savoir si vous auriez la correction de cet exercice pour essayer de comprendre la ou j'ai fait des erreurs merci d'avance

[SoS-Math(25)]

Bonjour Inès,

Nous ne donnons pas de corrections ici.

Tu peux nous donner des détails de ton raisonnement afin de voir ou tu bloques pour t'aider.

Bon courage !

[julie]

Bonjour,
Quelle la position du point D sur [BE], pour que cette aire soit maximale? je n'arrive pas a repondre a cette question car selon moi il n'y apas assez de donnez pouvez vous m'éclairer sur cette question merci d'avance

[SoS-Math(33)]

Bonjour Julie,
si tu as fait l'exercice et si tu as bien lu la discussion tu as du trouver que l'aire est : \(\frac{\pi\,DE^2}{4}\).
Pour que cette aire soit maximale, il faut que DE² soit maximal donc que DE soit maximal.
Je te laisse trouver la position de D pour que DE soit maximal.

[julie]

merci de m'avoir répondu, donc si j'ai bien compris pour que DE soit maximale il faut que D se situe au milieu du segment AB?
par ailleurs j’ai une autre question le périmètre de l'arbel est il égal au périmètre du demi cercle de diamètre AB ?

[SoS-Math(32)]

Bonjour Julie,
C'est bien ça pour le point D.
Pour le périmètre de l'arbel, il faut considérer tout son contour; le demi-cercle de diamètre [AB] en fait partie, mais il ne faut pas oublier les 2 autres demi-cercles.
Bon courage.
Sos-math.