Problème Droite et cercle d'Euler d'un triangle
Posté : dim. 30 oct. 2011 14:46
Bonjour,
je suis totalement bloqué sur la question 3°b) de ce problème.
J'ai réussi les questions précédentes mais là je suis perdu (surtout sur l'indication que nous à donné le professeur).
Soit ABC un triangle non isocèle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
1. Sur la gure ci-jointe (à rendre avec la copie), construire le cercle C circonscrit au triangle ABC (on appellera
O son centre). Construire ensuite son orthocentre H et son centre de gravité G.
Le but de la première partie de ce problème est de démontrer que les points O, G et H sont alignés.
La figure devra être complétée au fur et à mesure des questions.
2. Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C.
(a) De quelle nature sont les triangles ACD et ABD? Justier.
(b) Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD). Quelle est la nature
du quadrilatère BHCD?
(c) En déduire que A' est le milieu de [HD].
3. (a) Que représentent les droites (HO) et (AA') pour le triangle AHD?
(b) En déduire que les points O, H et G sont alignés.
Indication : on utilisera le fait (à justifer) que AG =2/3 AA'
La droite (OH) est appelée droite d'Euler du triangle ABC, du nom du mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 - 1783).
4. Soit L le milieu de [AH], M celui de [BH], N celui de [CH] et enn E celui de [OH].
(a) Démontrer que OLHA' est un parallélogramme. En déduire que E est le milieu de [LA'].
(b) Comparer les longueurs LA' et AD.
(c) Tracer le cercle C1, de centre E et de rayon EA'. Constater qu'il passe par les points B', C', L, M, N,
ainsi que par les pieds I, J, K des trois hauteurs du triangle ABC. On ne demande pas de démontrer ce
résultat.
(d) Comparer les rayons des cercles C et C1.
Ce cercle est appelé cercle d'Euler ou cercle des 9 points du triangle ABC.
Merci beaucoup d'avance.
je suis totalement bloqué sur la question 3°b) de ce problème.
J'ai réussi les questions précédentes mais là je suis perdu (surtout sur l'indication que nous à donné le professeur).
Soit ABC un triangle non isocèle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
1. Sur la gure ci-jointe (à rendre avec la copie), construire le cercle C circonscrit au triangle ABC (on appellera
O son centre). Construire ensuite son orthocentre H et son centre de gravité G.
Le but de la première partie de ce problème est de démontrer que les points O, G et H sont alignés.
La figure devra être complétée au fur et à mesure des questions.
2. Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle C.
(a) De quelle nature sont les triangles ACD et ABD? Justier.
(b) Démontrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles, tout comme (CH) et (BD). Quelle est la nature
du quadrilatère BHCD?
(c) En déduire que A' est le milieu de [HD].
3. (a) Que représentent les droites (HO) et (AA') pour le triangle AHD?
(b) En déduire que les points O, H et G sont alignés.
Indication : on utilisera le fait (à justifer) que AG =2/3 AA'
La droite (OH) est appelée droite d'Euler du triangle ABC, du nom du mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 - 1783).
4. Soit L le milieu de [AH], M celui de [BH], N celui de [CH] et enn E celui de [OH].
(a) Démontrer que OLHA' est un parallélogramme. En déduire que E est le milieu de [LA'].
(b) Comparer les longueurs LA' et AD.
(c) Tracer le cercle C1, de centre E et de rayon EA'. Constater qu'il passe par les points B', C', L, M, N,
ainsi que par les pieds I, J, K des trois hauteurs du triangle ABC. On ne demande pas de démontrer ce
résultat.
(d) Comparer les rayons des cercles C et C1.
Ce cercle est appelé cercle d'Euler ou cercle des 9 points du triangle ABC.
figure de départ.pdf- Ceci est la figure que l'on nous a donné, et qui est à compléter.
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