SOS-MATH

Bonjour , je suis en première Es , et j'ai du mal avec cet exercice , les maths ce n'est pas mon point fort..
C'est un exercice sur les suites géométriques , qui est assez long .
L'année n , les fabricants d'ordinateurs portables haut-de-gamme vendent leurs machines à un prix Pn. La quantité offerte l'année n , notée On, est fonction du prix Pn-1(exposant) , du fait des délais de fabrication . La quantité demandée l'année n , notée Dn , est fonction du prix Pn.
Pn est exprimé en milliers d'euros , On et Dn en centaines d'unités . On sait que :
On = 20 Pn-1 -10 , avec n supérieur à 1
et Dn = -30Pn + 140 , avec n supérieur à 0
De plus , chaque année , On = Dn car les fabricants recherchent l'équilibre du marché , afin qu'il n'y ait pas de stock .
1. Dans cette question , on suppose que P0= 1,5.
a) Calculer O1 , D1 , P1 , O2 , D2 , et ainsi de suite jusqu'à P5 (j'utilise donc les formules pour les trouvés?)
b) De quel entien naturel semble se rapprocher les termes de la suite (Pn)
2.a)Dans l'hypothèse d'équilibre On = Dn , démontrer que pour tout n de GRAND N(entier naturel) , Pn = -2/3pn-1(exposant) +5 .
b) u est la suite définie pour tout n de N par un ) Pn - 3.
Démontrer que u est géométrique de raison -2/3 (fraction)
c)Exprimer un puis Pn en fonction de n.
d) A la calculatrice , calculer P100 puis D100 et O100 (j'ai pas de caluculatrice ) . Interpréter les résultats obtenus.

Surtout la 2ème partie qui pose problème. a) et b)

Merci pour votre aide , et bonne journée .

Bonjour,
Pour la partie 2, il faut partir de pour un entier naturel n quelconque \(u_{n+1}=P_{n+1}-3=\left(-\frac{2}{3}\right)P_n+5-3=\left(-\frac{2}{3}\right)P_n+2\) et là on cherche à factoriser par (-2/3) donc on écrit :
\(u_{n+1}=P_{n+1}-3=\left(-\frac{2}{3}\right)P_n+2=\left(-\frac{2}{3}\right)P_n+\underbrace{\left(-\frac{2}{3}\right)\times(-3)}_{egal\,a\,+2}=\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(P_n-3\right)\).
On a ainsi prouvé que pour tout n, \(u_{n+1}=\left(-\frac{2}{3}\right)u_n\) donc \((u_n)\) est bien une suite géométrique de raison \({-}\frac{2}{3}\).
Ensuite, je te laisse trouver l'expression de \(P_n\) en fonction de n, c'est du cours.

Merci , je vais essayer .
Juste une petite aide pour la première 1 avec les calculs de O1, O2 je bloque un peu .

Ah oui merci , je vais essayer . Et pour le d) je n'ai pas de calculatrice tu pourrais m'aider ??

Pour les questions de calculs de O1 et O2, il suffit d'appliquer les formules définissant O_n, et de faire le calcul avec n=1.
Par exemple, pour O1, on a \(O_1=20P_0-10=20\times1,5-10=20\),
ensuite comme on veut \(O_1=P_1\), on retrouve \(P_1\) avec la définition de \(D_1\), \(D_1=20=-30P_1+140\), on obtient \(P_1\) en résolvant cette équation : \({-}30P_1+140=20\) donc on \(P_1=4\), puis on recommence avec la première formule pour trouver \(O_2\) et ainsi de suite jusqu'à P5....
Pour le calcul, trouve la formule de Pn en fonction de n, puis utilise la calculatrice de ton ordinateur.
Ps : je n'ai pas répondu à la a), il s'agit juste de combiner les relations de récurrence : \(O_n=D_n\) est équivalent à : \(20P_{n-1}-10=-30P_n+140\) soit en passant le 140 de l'autre côté, \({-}30P_n=20P_{n-1}-150\) puis en divisant par -30, on a ce que l'on veut...

Ah oui j'ai fait ça :
30P1 = 140 (j'ai divisé par 30)
P1 = 4,7
donc P1 = 4,7

Pour P2 , P3 , P4... Je fait la même chose ?

Non,
reprends l'équation que je t'ai donnée, on doit trouver P1=4, puis tu calcules O2, tu as ensuite D2 puis tu obtiens P2 et ainsi de suite

Arh je n'arrive pas à trouver =S

Ah je viens de trouver O2=50 , D2= 20 mais pour P2 = je ne vois pas

Tu dois avoir P1=4, ensuite
O2=20P1-10=20*4-10=70;
Donc D2=O2 (condition d'équilibre) donc dans la formule définissant D2, 70=-30P2+140, donc P2=(70-140)/(-30)=7/3

Ah oui voilà j'ai trouver ça P3 = 2,3 , P4 : 3,47 , P5 = 2,69 je l'ai met sous forme de fraction ?

Il est préférable de garder des résultats fractionnaires, pour les comparer avec ceux trouvés à l'aide de la formule de la fin de l'exercice.
D'autre part, si on prend un arrondi, on perd en précision, et comme on enchaîne les calculs cela se reporte de calculs en calculs en s'aggravant.

Ah oui d'accord juste tu pourrais me les donnés sous forme de fraction je n'ai pas de calculatrice .

Normalement, on doit trouver (vérifie le quand même)
\(P_0=1,5\;\,P_1=3\,;\,P_2=\frac{7}{3}\,;\,P_3=\frac{31}{9}\,;\,P_4=\frac{73}{27}\,;\,P_5=\frac{259}{81}\).
Et tu dois obtenir à la fin de ton exercice : \(P_n=3-1,5\left(-\frac{2}{3}\right)^n\)

Tu m'avais dit P1=4 , pour P2 je suis d'accord , mais pour les autres je n'ai pas trouver ça , j'ai du me tromper