droites perpendiculaires et coeff directeur

[matan]

bonjour,

quelqu'un peut il m'aider svp, j'ai fait 1 2 et 3 mais je bloque sur 4 5 6 et 7

On considère dans le repère orthonormé (o,I,J) deux droites d et d’ d’équations respectives y=ax+b et y’= a’x+b’ avec a différent de a’

1. justifiez que d et d’ sont sécantes
réponse : deux droites d’équation =ax+b et y=a’x+b’ sont sécantes si et seulement si elles n’ont pas le même coefficient directeur or a est différent de a ‘ donc d et d’ sont sécantes

2. on note A le point d’intersection des deux droites et on note ( xA ;xB) ses coordonnées. Justifiez que axA+b = a’xA+b’
réponse : pour déterminer les coordonnées du point d’intersection A de deux droites sécantes , on résout l’équation Axa+b + a’xA+b’ puis on calcule son ordonnée en remplaçant x dans y= ax+b

3. soit B et B’ deux points situés respectivement sur d et d’, d’abscisse xA+1
donnez les ordonnées de B et B’
réponse :xB =Xa+1
Le point B est situé sur d donc y=axB+b
y= a(xA+1)+b
y= aXA + a +b

le point B’est situé sur d’donc y=a’xB+b’
y = a’(xA+1) + b’
y = a’xA + a’+b’

4. Calculez AB², AB’² et BB’² en fonction de a

5. montrez que si d et d’ sont perpendiculaires alors aa’=-1

6. monter que si aa’=-1 alors d et d’ sont perpendiculaires

7. énoncez une condition nécessaire et suffisante pour que , dans un repère orthonormé, deux droites d et d’ d’équations respectives y=ax+b et y= a’x+b’ soient perpendiculaires
réponse il faut que le produit de leur coefficient directeur soit égal à -1

merci de toute aide

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

On sait que A(xA ; axA+b) et B(xA+1 ; a(xA+1)+b)

Je vais te calculer AB²= (xA+1-xA)² + (a(xA+1)+b-(axA+b))²= 1²+a²


je pense que tu pourras continuer la suite.

sosmaths

[matan]

ok merci bcq

j'ai donc fait
AB²=(xA+1-xa)²+ ( a(XA+1)+b -(axA+B))²
AB²= 1 + (axa+a+b-axA+b)²
AB²= 1+ a²

je vais faire la même chose pour les autres mais pouvez vous encore m'aider pour les questions 5 et 6
je sais qu'il y a un théorème qui dit :
" Ce théorème n'est appliquable que dans un repère orthonormé.
Si le produit des coefficient directeurs des deux droites est égal à -1 alors ces deux droites sont perpendiculaires (la réciproque est vraie)"

mais comment puis le montrer ?

Merci pour votre précieuse aide

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je pense que le but des questions 5 et 6 est précisément de démontrer ce théorème donc on ne peut pas l'utiliser !
Pour ces questions on te fait calculer les carrés des cotés d'un triangle : si tes droites sont perpendiculaires, alors tu as un rectangle, le théorème de pythagore assure une certaine égalité entre ces carrés. L'égalité produite doit se simplifier et il doit te rester ce fameux aa'=-1.
dans l'autre sens, il suffit (je pense mais ce n'est qu'une intuition) de remonter les calculs, c'est à dire de partir de aa'=-1 et de prouver en faisant des calculs séparés cette fois -ci que le carré du plus grand est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, la réciproque de Pythagore s'appliquera, ton triangle sera rectangle et tes droites seront perpendiculaires.

[matan]

suite réponse

pour
AB'² =(xB'-xA)²+(a'xA+a'+b'-aXA-b)²
AB'²=(xB'-xA)²+ (a'-a)xA+a'+b'-b)

BB'²= (xB'-(xA+1))²+(a'xA+a'+b'-a(xA+1)+b)
BB'²= (xB'-xA-1)²+(b-b')

merci de me dire si c'est juste, j'ai un doute car cela ne simplifie pas comme AB²
merci pour votre aide
matan

[matan]

Bonsoir et
merci je vais essayer mais pensez vous que mes calculs de AB'² et de BB'² soient justes
je trouve que je n'arrive pas à simplifier comme dans le cas de AB²
Merci

[MATAN]

bonsoir et merci bcq

je vais essayer mais pensez vous que mes calculs de AB'² et BB'² soient justes car je n'arrive pas à simplifier comme dans le cas de AB²

merci de votre attention

[sos-math(21)]

tu as bien
\(A(x_A;ax_A+b)\)
\(B(x_A+1;a(x_A+1)+b)\)
\(B^{,}(x_A+1;a^{,}(x_A+1)+b^{,})\) avec la relation (qui peut servir) \(ax_A+b=a^{,}x_A+b^{,}\) d'ailleurs on s'en sert pour arranger l'expression de B' :
\(B^{,}(x_A+1;ax_A+b+a^{,})\) et du coup tous les calculs sont simplifiés !
Le calcul de \(AB^2\), ne pose pas de problème, on trouve bien \(AB^2=1+a^2\)
Ensuite, \(AB^{,2}=1+a^{,2}\)
de même \(BB^{,2}=(a^{,}-a)^2\)
Après on écrit la relation de pythagore :
\(BB^{,2}=AB^{,2}+AB^2\) soit en remplaçant et développant:
\(2+a^{,2}+a^2=a^2-2aa^{,}+a^{,2}\)
en simplifiant, on a bien ce que l'on veut...

[matan]

bonsoir

merci bc, j'ai bien compris
j'avais pas vu qu'on pouvait écrire axA+b = a'xA+b' mais c'est parce que A est le point d'intersection de d et d'

donc pour la question 4 c'est ok

pour la 5 c'est bon aussi j'ai fait

d est perpendiculaire à d' donc le triangle ABB' est rectangle en A
D'après Pythagore
BB'²= AB²+AB'²
(a-a')²=1+a'²+1+a²
a²-2aa'+a'²=2+a'²+a²
-2aa'=2
aa'=-1

donc si d et d' sont perpendiculaires alors le produit de leur coeff directeur est egal à -1 dans un repère orthonormé

pour la question 6

vous dites, partir de aa'=-1 est de prouver en faisant les calculs séparés cette fois ci que le carré du plus grand coté est egal à la somme des carrés des 2 autres

là j'avoue je cale un peu

sans vouloir abuser, merci de votre aide

[matan]

bonsoir

finalement j'ai trouvé tout seul
on sait que aa'=-1
réciproque de Pithagore
si BB'²=AB'²+BB'² alors le triangle ABB' est rectangle en A

BB'²= (a'-a)² = a'²-2aa'+a² avec aa'=-1
BB'²= a'²+a²+2

AB²+AB'²= 1+a'²+1+a² =a'²+a²+2

donc BB'²= AB²+AB'² donc le triangle ABB' est rectangle en A et d est perpendiculaire à d'

vraiment merci beaucoup de m'avoir si bien aidé
bonne soirée
et peut être à bientôt

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je crois que tu as parfaitement compris mes explications : tu as fait le reste du travail tout seul, c'est très bien, je te félicite.
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