SOS-MATH

Bonjour ,

J'aurais besoin d'aide pour cet exercice concernant les fonctions et les variations. Merci de Bien vouloir m'aider
Voici l'énoncé :

Soit un cercle de centre O et de rayon 1 et un diamètre [KL] de ce cercle.
Un point M varie sur le segment [KL].
La perpendiculaire (KL) passant par M coupe le cercle en deux points N et P.
On étudie l'aire A du triangle KNP en fonction de la distance KM.

En utilisant un logiciel de géométrie ( geogebra ) , conjecturer les variations de la fonction A , quand M décrit [KL] , et la position du point M pour laquelle la fonction A présente un maximun.

Quelle semble être la valeur du Maximum ?
Le triangle d'aire maximale est-il équilatéral ?

Voila mon problème , j'ai faite la figure sur GGB mais je ne sais pas comment commencer , et surtout comment dois-je résoudre cet problème , j'aimerais quelques indices de votre part SVp!
Merci d'avance

Bonsoir Elisa,

Pour résoudre ton problème tu dois pouvoir te contenter de la figure animée. Avec le logiciel tu trouves le maximum pour = 1,7 et le triangle semble équilatéral.
Pour faire la figure commence par placer le point O, trace la cercle de centre O et de rayon 1, place un point K sur le cercle, trace le diamètre KO puis déduis-en le point L comme point d'intersection.
Trace le segment KL. (nommé a par ggb)
Place un point sur le segment KL,
Trace le segment KM. (nommé b par ggb)
Trace la perpendiculaire à KM passant par M.
Trace les points N et P.
Trace le triangle NKP. (nommé poly1 par ggb)
Dans la fenêtre algèbre tu as le longueur de KM et l'aire de NKP.
Déplace le point M pour obtenir le maximum.
Tu peux aussi créer un point de coordonnées (b,poly1) où b est la longueur de KM et poly1 l'aire de NKP, en entrant dans la ligne de saisie T=(b,poly1) avec un T majuscule.
Ensuite tu actives la trace de T et tu remarques qu'il décrit une courbe représentant une fonction qui a un maximum.

Si tu dois démontrer ce résultat, tout du moins en partie, (ce qui n'est pas demandé a priori), tu dois exprimer l'aire du triangle NKP en fonction de x.
Pour cela il faut commencer par calculer la longueur MN en fonction de x :
- Vérifie que les angles MPK et NCK sont égaux comme angle inscrits qui interceptent le même arc NK.
- Comme ils sont égaux ils ont la même tangente compare alors \(\frac{KM}{MP}\) et \(\frac{NM}{MC}\).
- Remplace alors KM par \(x\) et MC par \(2 - x\) et MP par MN puis déduis-en MN.
Tu peux alors exprimer l'aire en fonction de \(x\), cela te donne une formule assez compliquée avec une racine carrée.
Entre cette formule dans ta calculatrice et recherche le maximum avec le graphique et la trace, tu retrouveras le même résultat.

Bonne continuation

Bonjour Elisa,

En te répondant hier, j'ai mal tapé et il te manque une lettre dans ma réponse dans la phrase :
"Avec le logiciel tu trouves le maximum pour = 1,7 et le triangle semble équilatéral."
Il faut lire : le maximum pour n = 1,7 et le triangle semble équilatéral." n est le nom donné par geogebra à l'un des côtés du triangle NKP, les autres côtés valent aussi 1,7, cela ne veut pas dire qu'ils sont égaux, il peut y avoir 1,69 ; 1,72 et 1,74 le logiciel arrondi n'affiche qu'une décimale on ne peut donc pas conclure.
Cela correspond à KM = b = 1,5 toujours donné par le logiciel.
Le maximum est donc obtenu pour x = 1,5 (environ, ce n'est que de la lecture graphique) et il vaut environ 1,3.

Bonne continuation.