DTL sur le chapitre des fonctions
Posté : dim. 24 oct. 2010 13:26
Bonjour ! Pour le 4 Novembre, mon professeur de Mathématiques nous a donné un Devoir en Temps Libre. Nous travaillons actuellement sur le chapitre des fonctions, et il s'agit ici d'exercices d'application sur un calcul d'aire. J'ai réussi à avancer jusqu'à un certain point, mais je bloque... Voici l'énoncé complet :
On donne un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB = 10 cm. On place un point M variable sur ce demi-cercle. On note \(x\) la longueur AM.
1) a. Quel est l'ensemble des valeurs possibles de \(x\) ?
b. Réaliser la figure en prenant AM = 4 cm.
c. Exprimer la longueur MB en fonction de \(x\).
2) On appelle \(f\) la fonction qui à \(x\) associe l'aire du triangle AMB.
a. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
b. Justifier que \(f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{100-x^{2}}\)
c. Réaliser un tableau de valeurs \(f(x)\) sur D\(_{f}\) avec le pas 1 (on arrondira à \(10^{-2}\))
d. Placer les points obtenus et tracer la courbe représentant \(f\) dans le repère suivant : (repère)
e. Quelle semble être la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du triangle est maximale ?
Jusque là, tout va bien pour moi.
3) a. Sur la figure ralisée au 1b), tracer la hauteur (MH), H étant le pied de cette hauteur.
Montrer que l'aire du triangle AMB est égale à \({5}\times{}MH\)
b. On admet que la plus grande valeur possible pour MH est 5 cm.
En déduire la valeur maximale de l'aire de AMB.
Réaliser la figure obtenue dans ce cas ; calculer la valeur exacte de AM, notée \(x_{0}\)
c. Reporter \(x_{0}\) sur le repère précédent ; calculer \(f(x_{0}\))
Marquer en vert le point de la courbe correspondant.
Je ne vois pas comment montrer que \({5}\times{}MH\) est égale à l'aire de AMB... J'ai essayé de faire la suite pour revenir à cette question plus tard, mais je n'arrive pas non plus à calculer \(x_{0}\)... Je pose l'équation 25 = \(\frac{1}{2}x\sqrt{100-x^{2}}\) ; mais je ne vais pas bien loin...
Pourriez-vous me mettre sur la voie ? Merci d'avance.
On donne un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB = 10 cm. On place un point M variable sur ce demi-cercle. On note \(x\) la longueur AM.
1) a. Quel est l'ensemble des valeurs possibles de \(x\) ?
b. Réaliser la figure en prenant AM = 4 cm.
c. Exprimer la longueur MB en fonction de \(x\).
2) On appelle \(f\) la fonction qui à \(x\) associe l'aire du triangle AMB.
a. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
b. Justifier que \(f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{100-x^{2}}\)
c. Réaliser un tableau de valeurs \(f(x)\) sur D\(_{f}\) avec le pas 1 (on arrondira à \(10^{-2}\))
d. Placer les points obtenus et tracer la courbe représentant \(f\) dans le repère suivant : (repère)
e. Quelle semble être la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire du triangle est maximale ?
Jusque là, tout va bien pour moi.
3) a. Sur la figure ralisée au 1b), tracer la hauteur (MH), H étant le pied de cette hauteur.
Montrer que l'aire du triangle AMB est égale à \({5}\times{}MH\)
b. On admet que la plus grande valeur possible pour MH est 5 cm.
En déduire la valeur maximale de l'aire de AMB.
Réaliser la figure obtenue dans ce cas ; calculer la valeur exacte de AM, notée \(x_{0}\)
c. Reporter \(x_{0}\) sur le repère précédent ; calculer \(f(x_{0}\))
Marquer en vert le point de la courbe correspondant.
Je ne vois pas comment montrer que \({5}\times{}MH\) est égale à l'aire de AMB... J'ai essayé de faire la suite pour revenir à cette question plus tard, mais je n'arrive pas non plus à calculer \(x_{0}\)... Je pose l'équation 25 = \(\frac{1}{2}x\sqrt{100-x^{2}}\) ; mais je ne vais pas bien loin...
Pourriez-vous me mettre sur la voie ? Merci d'avance.