Problème de vecteurs mais pas seulement...

[Haley]

Bonsoir, je ne comprends pas l'exercice pouvez-vous m'expliquer? Et je vous remercie à l'avance de votre aide.
Alignement dans un trapèze:

ABCD est un trapèze tel que le vecteur DC = 1/3 du vecteur AB
I et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Les droites (AC) et (BD) se coupent en M ; Les droites (AD) et (BC) se coupent en N.

1) Que peut on conjecturer pour les points I,K,M,N
2) Déterminer les coordonnées des points A,B;C,D,I et K dans le repère (A; vecteur AB, le vecteur AD)
3) Démontrer que le vecteur AM = 3/4 du vecteur AC
en déduire les coordonnées du point M
4) a) On note (x;y) les coordonnées du point N
Traduire l'alignement des points B,C et N
b) En remarquant que le point N appartient à un axe du repère, trouver les coordonnées de N
5) Démontrer alors la conjecture émise a la question 1

Voilà ce que j'ai trouvé:

1) On peut dire que ces points sont alignés
2)A (0;0)
B (1;0)
C (1/3;1)
D (0;1)
I (1/2;0)
K (1/6;1)


J'ai besoin de vous à partir de la question 3), c'est là que je bloque ...

Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Haley,

Tu as une configuration de Thalès avec les triangles MAB et MCD, et tu sais que \(\vec{DC}=\frac{1}{3}\vec{AB}\). Déduis-en d'autres rapports puis l'égalité demandée.
Pour N, tu connais son abscisse, tu peux faire comme t'indique l'énoncé ou utiliser de nouveau le théorème de Thalès dans les triangles NDC et NAB.
Ensuite tu pourras calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{NK}\), \(\vec{NI}\), \(\vec{NM}\) et démontrer qu'ils sont colinéaires.

Bonne suite

[Haley]

Bonsoir, merci de votre réponse.
J'ai fait Thalès mais je tourne en rond et ne trouve pas l'égalité à démontrer.
J'ai fait:
MC/MA=MD/MB=CD/AB=1/3
J'essaye de tourner ces rapports dans tous les sens, la solution ne m'apparait pas.
Pour trouver N, on sait une partie de ses coordonnées: (0;y)
Par Thalès, ND/NA=NC/NB=DC/AB
Pareil, je n'y arrive point.
Si je trouve les coordonnées des points, je pourrais aisément prouver la colinéarité...
Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Haley,

Tu as presque fini l'exercice ...
Tu as trouvé Mc/MA = 1/3, donc MA = 3 MC
mais les points M, A et C sont alignés, donc \(\vec{MA}=-3\vec{MC}\) (attention au sens des vecteurs)
Il faut alors utiliser la relation de Chasles : \(\vec{MC}=\vec{M...}+\vec{..C}\) (à toi de compléter !)

Bon courage pour la suite,
SoSMath.