SOS-MATH

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice sur les fonctions carrées ,voici la consigne:

Sur le graphique ci-contre(voir fichier joint) on a représenté la fonction f(x)=x². Conjecturer la valeur de la somme de tous les entiers impairs ed 1 à 2 003 après avoir bien observé la figure. Essayer, toujours en s'inspirant du graphique de demontrer le résultat obtenu.

J'ai commencé par dire que les nombres impairs étaient représentés par x+2=y dans le cas de 2 003 j'ai fait:
x+2= 2 003
x=2 001
Ensuite j'ai fait 2 001²= 4 004 001 qui sera le plus grand nombre représenté sur l'axe des ordonnées mais j'ai l'impression que cela ne me servira à rien pour repondre à ce qu'on me demande, je crois que je tourne en rond.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir Marion,

En observant ton graphique, tu vois que :
1² = 1
2² = 1 + 3
3² = 1 + 3 + 5

Il semble que la somme des n premiers nombres impairs soit égale à n².
Si tu arrives à déterminer combien de termes contient cette somme :
1 + 3 + 5 + ... + 2001 + 2003,
tu pourras en calculer la valeur.

Avoue que ce serait fastidieux de devoir additionner un à un tous ces nombres.
Il paraît légitime de rechercher un procédé plus simple.

On envisagera la démonstration, après que tu aies franchi cette première étape.

Bon courage.

Bonsoir,
Alors si j'ai bien compris il faut que je calcule la somme des nombres allant de 1 à 2 003. Il y a donc 2 004 nombres au total et 1 002 nombres impairs. Donc la somme de tous ses nombres impairs serait égale à 1 002²=1 004 004, mais de là comment prouver et justifier ses calculs je ne sais comment faire. Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour Marion,

De 1 à 2003, il n'y a pas 2004 nombres, mais 2003.
Il y a bien 1002 nombres impairs, mais seulement 1001 nombres pairs.
La somme des nombres impairs de 1 à 2003 est donc bien 1002² comme tu l'affirmes.

En route pour la démonstration ...

Sur ton graphique, tu observes aussi que :
1² - 0² = 1
2² - 1² = 3
3² - 2² = 5
etc.

Il semble donc que (n+1)² - n² soit égal à 2n+1.

Pour le prouver, tu développes l'expression : (n+1)² - n².
Ensuite, pour faire la somme des entiers impairs de 1 à 2n+1, il suffira d'ajouter membre à membre toutes ces égalités.

Au travail...

Merci beaucoup j'ai maintenent tout compris! je ne sais pas ce que j'aurais fait sans vous!
=)

A bientôt Marion,

SoSMath.