exercice sur les fonctions carrées

[Marion]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice sur les fonctions carrées ,voici la consigne:

Sur le graphique ci-contre(voir fichier joint) on a représenté la fonction f(x)=x². Conjecturer la valeur de la somme de tous les entiers impairs ed 1 à 2 003 après avoir bien observé la figure. Essayer, toujours en s'inspirant du graphique de demontrer le résultat obtenu.

J'ai commencé par dire que les nombres impairs étaient représentés par x+2=y dans le cas de 2 003 j'ai fait:
x+2= 2 003
x=2 001
Ensuite j'ai fait 2 001²= 4 004 001 qui sera le plus grand nombre représenté sur l'axe des ordonnées mais j'ai l'impression que cela ne me servira à rien pour repondre à ce qu'on me demande, je crois que je tourne en rond.

Merci d'avance pour votre aide.

voici le graphique de l'exercice.

[sos-math(19)]

Bonsoir Marion,

En observant ton graphique, tu vois que :
1² = 1
2² = 1 + 3
3² = 1 + 3 + 5

Il semble que la somme des n premiers nombres impairs soit égale à n².
Si tu arrives à déterminer combien de termes contient cette somme :
1 + 3 + 5 + ... + 2001 + 2003,
tu pourras en calculer la valeur.

Avoue que ce serait fastidieux de devoir additionner un à un tous ces nombres.
Il paraît légitime de rechercher un procédé plus simple.

On envisagera la démonstration, après que tu aies franchi cette première étape.

Bon courage.

[Marion]

Bonsoir,
Alors si j'ai bien compris il faut que je calcule la somme des nombres allant de 1 à 2 003. Il y a donc 2 004 nombres au total et 1 002 nombres impairs. Donc la somme de tous ses nombres impairs serait égale à 1 002²=1 004 004, mais de là comment prouver et justifier ses calculs je ne sais comment faire. Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(19)]

Bonjour Marion,

De 1 à 2003, il n'y a pas 2004 nombres, mais 2003.
Il y a bien 1002 nombres impairs, mais seulement 1001 nombres pairs.
La somme des nombres impairs de 1 à 2003 est donc bien 1002² comme tu l'affirmes.

En route pour la démonstration ...

Sur ton graphique, tu observes aussi que :
1² - 0² = 1
2² - 1² = 3
3² - 2² = 5
etc.

Il semble donc que (n+1)² - n² soit égal à 2n+1.

Pour le prouver, tu développes l'expression : (n+1)² - n².
Ensuite, pour faire la somme des entiers impairs de 1 à 2n+1, il suffira d'ajouter membre à membre toutes ces égalités.

Au travail...

[Marion]

Merci beaucoup j'ai maintenent tout compris! je ne sais pas ce que j'aurais fait sans vous!
=)

[SoS-Math(9)]

A bientôt Marion,

SoSMath.