Vecteurs (Devoir Maison)

[Arnaud]

Bonjour,
Je vous écris car j'ai un soucis au niveau des vecteurs dans mon devoir maison à rendre pour la rentrée prochaine. Je vous serais reconnaissant de m'aider, d'élucider ce problème.
Voici l'énoncé :
ABC est un triangle. On note A' le milieu [BC] et on définit les points I, J, H et K par :
AI = 1/3 AC ; CJ = 1/3 CB ; BH = 1/3 BC ; AK = 1/3 AB ( toutes les données sont des vecteurs)

1. a. Exprimer HJ (vecteur) en fonction de BC ( vecteur)
b. Démontrer que KI = 1/3 BC (vecteur) . Quelle est la nature du quadrilatère IJHK ?
2. Soit L le milieu [BAA']. Démontrer que B, L et I sont alignés.

Voici ce que j'ai répondu pour la première question :

1a. HJ = HB +BJ (Toutes les données sont des vecteurs)
= BJ - BH
= BJ - 1/3 BC
= 2/3 BC - 1/3 BC
= 1/3 CB


1b. KI = KA + AI
= AI - AK
= 1/3 AC - 1/3 AB
= 1/3 AC + 1/3 BA
= 1/3 BC

Donc HJ = KI = 1/3 BC (vecteur)

Donc HJ = KI (vecteur) ; KI est collinéaire avec BC ansi que HJ or si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Si un quadrilatère à ses côtés opposés parallèles et de mêmes longueurs alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

C'est ensuite que je bloque

Pour la deuxième question je n'arrive pas à trouver. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît.

[sos-math(19)]

Bonsoir Arnaud,

1a. HJ = HB +BJ (Toutes les données sont des vecteurs)
= BJ - BH
= BJ - 1/3 BC
= 2/3 BC - 1/3 BC
= 1/3 CB

Attention à l'erreur dans la dernière ligne (un vecteur a un sens).

Question 1b : l'égalité vectorielle est correcte.
L'égalité \(\vec{KI}=\vec{HJ}\) suffit à prouver que le quadrilatère KIJH est un parallélogramme.

Question 2 : Il faut prouver que les vecteurs \(\vec{BL}\) et \(\vec{BI}\) sont colinéaires.
Pour cela, tu peux chercher à les décomposer sur la base \((\vec{BA},\vec{BC})\).

Bon courage.

[Arnaud]

Je suis vraiment désolé mais je bloque toujours. Je vois vraiment pas. J'ai passé toute la soirée à chercher mais en vain. Pourriez-vous me guider un petit peu plus s'il vous plaît.

Voici ce que j'ai fais :
But : BI = k x BL ( Vecteur)

Ensuite j'ai décomposé BI

(toutes les données sont des vecteurs)

BI = BL + LI
BL + IA + AL
BL + IA + AB + BL
2BL + IB + BA + AB

C'est du n'importe quoi.

[sos-math(19)]

Bonjour Arnaud,

Pour exprimer \(\vec{BL}\) en fonction de \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\), il faut profiter du fait que L est le milieu de [AA'].
On peut écrire : \(\vec{BL}=\vec{BA}+\vec{AL}\), mais aussi \(\vec{BL}=\vec{BA'}+\vec{A'L}\)... Je te laisse continuer.

Pour exprimer \(\vec{BI}\) en fonction de \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\), il faut profiter du résultat de la question précédente.
On peut écrire : \(\vec{BI}=\vec{BK}+\vec{KI}\)... Je te laisse continuer.

Tu chercheras ensuite la relation de colinéarité entre \(\vec{BI}\) et \(\vec{BL}\).

Bon courage.

[Arnaud]

Merçi pour votre sa m'a aider à avancer
VOICI CE QUE J'AI TROUVE :
L milieu [AA']

(toutes les données sont des vecteurs)

Sachant que AB + AC = 2 AA' donc AA' = 1/2 AB + 1/2 AC
Vu que AA' = 2 AL Alors AL = 1/4 AB + 1/4 AC

BL = BA + AL
=BA + 1/4 AB + 1/4 AC
= - 3/4 AB + 1/4 AB + 1/4 BC
=-2/4 AB + 1/4 AC
=1/4 AC + 2/4 BA

Est-ce juste afin que je puisse continuer pour le prochain ?

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

Il est préférable de décomposer les vecteurs BL et BI en fonction de AB et BC (conseil d'un de mes collègues...).
BL=BA+AL, comme L est le milieu de AA', alors AL=1/2AA', puis AA'=AB+BA', et comme A' est le milieu de BC, on pourra donc exprimer BL en fonction de AB et BC.
Pour BI, faire apparaitre le point A, puis utiliser le fait que AI=1/3 de AC. Et faire apparaitre le point B dans le vecteur AC.

Bon calculs.

[Arnaud]

J'ai suivi vos indications et voici le résultat

BL = BA + AL
BA + 1/4 AB + 1/4 AC
-3/4 AB + 1/4 AB + 1/4 BC
-2/4 AB + 1/4 BC
1/4 BC - 1/2 AB

BI = BA + AI
BA + 1/3 AC
BA + 1/3 AB + 1/3 BC
-2/3 AB + 1/3 BC
1/3 BC - 2/3 AB

Si mes résultats sont justes, on peut donc en déduire que les points B, L et I sont alignés

[sos-math(19)]

Bonsoir Arnaud,

Tu vas un peu vite.

A partir des résultats précédents, établis la relation de colinéarité entre les vecteurs \(\vec{BI}\) et \(\vec{BL}\).

C'est seulement après que tu pourras conclure à l'alignement des points B, L et I.

Bon courage.

[Arnaud]

Je pense que j'ai fait une erreur dans mes calculs car quand j'essaie de trouver un rapport de colinéarité, il n'y en a pas donc est-ce que vous pourriez me dire si mes calculs sont justes s'il vous plaît.

[SoS-Math(8)]

Non les calculs sont justes, j'ai trouvé les mêmes résultats.

Si tu regardes les coefficients sur le vecteur AB:
Pour BL, c'est -1/2
Pour BI c'est -2/3.
Pour passer de -1/2 à -2/3, il faut que tu multiplies par ?.
Essais de trouver ce nombre et vérifie que pour BC, tu obtiens la même relation.

[Arnaud]

Merçi beaucoup pour l'aide, elle m'a été d'une grande utilité.

Notre professure de maths nous a rajouté une question qui est :
Soit le centre G de bravité du triangle ABC. Demontrer que le point G est le centre de [KJ]

[sos-math(19)]

Bonjour Arnaud,

Pour cette troisième question, peux-tu nous dire ce que tu as fait ?
Rappelle-toi que c'est la condition pour obtenir de l'aide sur ce site.

A bientôt.

[Arnaud]

Oui excusez-moi,
Alors j'ai fait ceci :
GA + GB + GC = 0
AG = 2/3 AA'
BG = 2/3 BB'
CG = 2/3 CC'
Donc ensuite le but est de prouvé que KG = 1/2 KJ ou KG = GJ
Puis j'ai décomposé le vecteur KG :
Mais c'est là que je bloqque car je fait
KG = KB + BG
2/3 AB + BJ + JG (j'ai réussi à introduire le vecteur JG)
Mais je vois pas ce que je peux faire avec le reste

[SoS-Math(8)]

Bonsoir,

Personnellement, je suis parti de GK+GJ:
GK+GJ=GA+AK+GB+BJ=GA+AK+GA+AB+BJ; Le but étant de faire "disparaître le point G"
GK+GJ=2GA+AK+AB+BJ.
Utilisez ensuite la fait que
G est situé au 2/3 de [AA']: AG=2/3AA'.
Et les égalités vectorielles initiales.

A la fin on trouve que GK+GJ=0. D'où la conclusion.

[Arnaud]

Merçi beaucoup
Mon devoir maison est fini, je vous remercie.