SOS-MATH

Bonsoir tout le monde,
J'ai un DM a faire et je ne comprends pas un des exercices :

Dans un triangle ABC, I milieu de [BC] J celui de [AI].
La droite (BJ) coupe la droite (AC) en K.

Déterminer les coordonnées des points I et J dans le repère (B, A ,C) [FAIT]

On note (x,y) les coordonnées du point K

a) A K C sont alignés, en déduire une relation entre x et y qui traduit cette colinéarité

b) B K J le sont aussi, faire de même

c) En déduire les coordonnées de K puis démontrer que AK=1/3AC (vecteurs)


Je ne comprends pas du tout la a) et la b)

Merci

Bonsoir Jérémy,

Quelles coordonnées as-tu obtenu pour I et J ?

Question a : Dire que les points A, K et C sont alignés revient à dire que les vecteurs \(\vec{AK}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
Tu dois donc déterminer les coordonnées de ces deux vecteurs, puis écrire la relation analytique de colinéarité.

Bon courage.

Bonsoir,
alors j'ai :

I milieu de BC donc xI= xB+xC/2=0+0/2=0
yI=yB+yC/2=0+1=1
I(0,1)
Mais en l'écrivant ici je remarque qu'enfaite ce n'est pas possible puisque c'est C qui a (0,1)
Donc enfaite je bloque a cette question ^^
Merci

Oups pardonnez moi j'avais complétement oublié le divisé par deux...
Enfaite non j'ai bien I(0,0.5)
J milieu de AI donc xJ=xA+xI/2=1+0/2=0.5
yJ=yA+yI=0+0.5/2=0.25
J(1/2;1/4)

Pour la question a) AK(xK-xA;yK-yA)
AK(x-1;y-0)
AK(1-x;y)

AC(0-1;1-0)
AC(-1,1)

Mais que faire après ?
merci

Bonsoir Jérémy,

C'est bien d'avoir rectifié toi-même pour les coordonnées de I.
Les autres coordonnées sont correctes, mais tu as fait une erreur en recopiant.

On a : \(\vec{AK}(x-1;y)\) et \(\vec{AC}(-1;0)\).
Je te rappelle que la condition de colinéarité pour deux vecteurs \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\) s'écrit : \(x{y'}-y{x'}=0\).

A toi de continuer.

Bonsoir,
Ah d'accord il faut passer par là ! je croyais qu'il fallait écrire quelque chose du style x=2y ^^'

Donc AK(x-1,y) AC(-1,0)
(x-1*0)-(y*-1)=0
S'il faut continuer :
(0)-(-1y)=0
1y=0

Je fait de même pour BK et BJ
Puis pour déduire les coordonnées de K je pense qu'il faut utiliser les équations des droites BK et IA ?

Bonsoir Jérémy,

Excuse moi, j'ai fait une erreur en recopiant les coordonnées de \(\vec{AC}\). C'est bien (−1 ; 1) comme tu l'avais écrit toi-même.

L'erreur que j'avais signalée concernait les coordonnées de \(\vec{AK}\).

Reprends le calcul de la condition de colinéarité pour ces deux vecteurs.

L'équation obtenue n'est autre que l'équation de la droite (AC).

Comme tu le suggères, tu fais de même avec \(\vec{BK}\) et \(\vec{BJ}\), ce qui te donne l'équation de (BJ).

La résolution du système formé par ces deux équations fournit les coordonnées de K.

Bonne continuation.

Bonsoir,
Donc les coordonnées des deux vecteurs sont justes ?

Donc AK(x-1,y) AC(-1,0)
(x-1*0)-(y*-1)=0
(0)-(-1y)=0
1y=0
y=-1

Mais dans tout ce que je viens d'écrire qu'es ce que "la relation entre x et y" ?

Sinon pour les vecteurs BK BJ :
BK(xK-xB,yK-yB)
BK(x-0;y-0)
BK(x;y)

BJ(xJ-xB;yJ-yB)
BJ(1/2-0;1/4-0)
BJ(1/2;1/4)
Ce qui est logique puisque B est l'origine dans le repère.

1/2y-1/4x=0
1/2y=1/4x
1y=1/2x


c) y=1/2x et y=-1
1/2x=-1
x=-2
Mais ce n'est pas possible et je ne vois pas mon erreur :s

Merci

Bonsoir
Ah oui j'avais même pas remarquer que j'avais pris un mauvais vecteur, je recommence

Donc AK(x-1,y) AC(-1,1)
(x-1*1)-(y*-1)=0
S'il faut continuer :
(x-1*1)-(1y)=0
x-1=y
y=x-1

Par contre comme je le disais, que représente dans tout cas la relation entre x et y?

BK(x;y)
BJ(1/2;1/4)

1/2y-1/4x=0
1/2y=1/4x
y=1/2x

1/2x=x-1
x=2x-2
-x=2
x=2

Est-ce ceci ? puis pour trouver y je dit que K appartient a la droite BJ donc je remplace x par 2 dans y=1/2x ce qui donne y=1/2x2 y=1
K(2;1) ?
Mais ca me parait bizarre puisque K est en retrait par rapport a A...

Bonsoir Jérémy,

Sois plus attentif aux messages que nous envoyons.
On a \(\vec{AC}(-1;1)\) et non \(\vec{AC}(-1;0)\).

Corrige en conséquence le calcul sur la colinéarité des vecteurs \(\vec{AK}\) et \(\vec{AC}\).

Ton résultat pour la colinéarité des vecteurs \(\vec{BK}\) et \(\vec{BJ}\) est correct.

Il faut ensuite reprendre la résolution du système à la question c.

Bonne continuation.

Bonsoir,
Désolé nous avez envoyer en même temps que moi^^

Donc : AC(-1;1) AK(x-1;y)

-1*y - 1*x-1 =0
-1y - x-1 =0

Donc je repose ma question, qu'est ce que la relation entre x et y dans ce que je viens d'écrire ?

-x-1=y
y=-x-1


BK(x;y)
BJ(1/2;1/4)

1/2y-1/4x=0
1/2y=1/4x
y=1/2x


On a y=1/2x et y=-x-1
1/2x=-x-1
x=-2x-1
3x=-1
x=-1/3

Mais je devrais trouvé 1/3 normalement et pourtant c'est bien -1, qu'est ce qui cloche ? :D

Bonsoir Jérémy,

Donc je repose ma question, qu'est ce que la relation entre x et y dans ce que je viens d'écrire ?

J'ai répondu à cette question dans mon message de 21 h 33. Il s'agit simplement de l'équation de la droite (AC).

-1*y - 1*x-1 =0
-1y - x-1 =0

Il ne faut pas oublier les parenthèses. Le développement donne \(-y-x+1=0\) équivalent à \(x+y=1\).

Tu dois donc résoudre le système constitué des équations : \(x+y=1\) et \(x=2y\).

Bonne continuation.

Bonsoir,
Autant pour moi j'avais oublier de changer les signes...
Donc on a : x+y=1 et x=2y
Si x=2y alors 2y+y=1 soit 3y=1 soit y=1/3

Si y=1/3 alors x=2*1/3 soit x=2/3

K(2/3;1/3)

Démontrer AK=1/3AC

AK(2/3-1;1/3-0)
AK(2/3-3/3;1/3)
AK(-1/3;1/3)

AC(0-1;1-0)
AC(-1;1)
1/3AC(1/3*-1;1/3*1)
1/3AC(-1/3;1/3)

Donc AK=1/3AC

Si tout est juste je vous dois un grand merci :)

Bonsoir Jérémy,

Tout est juste et je suis heureux si tu as apprécié notre aide.

A bientôt sur sos-math pour un autre sujet.

Bonne nuit.

Bonsoir,

Il se trouve que j'ai le même exercice. J'ai suivi tout votre raisonnement mais il me reste une question. Lorsque vous établissez les deux équations "x + y = 1" et "x = 2y", je comprends d'où provient la première équation "x + y = 1" mais je ne comprends pas d'où provient la deuxième équation "x = 2y". Pouvez-vous éclairer ma lanterne sur ce sujet ?

Merci