SOS-MATH

Bonjour,
donc voilà j'ai un DM a rendre pour après les vacances mais je préfère m'y prendre aujourd'hui.


Exercice 1 (On notera V pour vecteur)

dans le repère muni d'un repère orthonormé, on a A(-3,3) B(10,-3) C(7,7) E(6,2)

1) A' B' C' sont les points définis par V(EA')=5/4V(EA) V(EB')=5/4V(EB) V(EC')=5/4V(EC)
Calculer les coordonées de A' B' C'

J'ai fais :

V(EA)(-3-6;3-2)
V(EA)(-9;1)
5/4V(EA)(-45/4;5/4)

V(EA')(xA'-6;yA'-2)

xA'-6=-45/4
xA'=-45/4+24/4
xA'=-21/4

yA'-2=5/4
yA'=5/4+8/4
yA'=13/4


V(EB)(10-6;-3-2)
V(EB)(4;-5)
5/4V(EB)(20/4;-25/4)

V(EB')(xB'-6;yB'-2)

xB'-6=20/4
xB'=20/4+24/4
xB'=44/4=11

yB'-2=-25/4
yB'=-25/4+8/4
yB'=-17/4


V(EC)(7-6;7-2)
V(EC)(1;5)
5/4V(EC)(5/4;25/4)

V(EC')(xC'-6;yC'-2)


xC'-6=5/4
xC'=5/4+24/4
xC'=29/4

yC'-2=25/4
yC'=25/4+8/4
yC'=33/4

A'(-21/4;13/4) B'(11;-17/4) C'(29/4;33/4)

2a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et A'B'

V(A'B')(44/4+21/4;-17/4-13/4)
V(A'B')(65/4;-30/4)

V(AB)(10+3;-3-3)
V(AB)(13;-6)

2b) Que peut on dire de ces vecteurs ? Que peut on en déduire pour les droites (AB) et (A'B')

Ces vecteurs sont colinéaires car (65/4*13)-(-30/4*-6)=(1.25)-(1.25)=0
(AB) et (A'B') sont alors parallèles.

3) Démontrer que les droites (AC) et (A'C') sont parallèles, ainsi que (BC) et (B'C')

Montrons alors que les vecteurs AC et A'C' sont colinéaires.

A'(-21/4;13/4) B'(11;-17/4) C'(29/4;33/4)

AC(7+3;7-3)
AC(10;4)

A'C'(29/4+21/4;33/4-13/4)
A'C'(50/4;20/4)

(10*20/4)-(4*50/4)=(200/4)-(200/4)=200/4-200/4=0

(AC) et (A'C') sont bien parallèles.

J'ai fait de même pour les deux autres droites et c'est bien égal a 0.





Exercice 2 :
Sur la figure, ABCD est un carré, BCL et DIC des triangles equilateraux.
On considère le repère (D;C;A) où D(0,0) C(1,0) A(0,1)

1) Quelles sont les coordonnées de B?

Un carré est un parallélogramme
Si ABDC est un parallélogramme alors V(AB) = V(DC)
V(DC)(1-0;0-0)
V(DC)(1;0)

V(AB)(xB-0:yB-1)

1=xB-0
1=xB

0=yB-1
1=yB

B(1;1)

2) Utiliser les propriétés des triangles équilatéraux pour déterminer les coordonnées de I et de L.

J'ai fait xI=1/2 DC =1/2x1=1/2 (car I est sur la médiane qui passe par le milieu de DC)
et pour l'ordonnée je ne vois pas.

J'ai fait de même dans l'autre triangle yL=1/2BC=1/2x1/1/2

3)Calculer les coordonnées des vecteur AI et AL
4)Que peut on en déduire sur les points A I L? Justifier

Merci de m'aider pour cette fin de l'exercice 2, après je mettrais l'exercice 3 qui me pose quelques problèmes.

Bonsoir Jérémy,

Il vaut mieux prévoir un exercice par sujet pour faciliter les échanges et améliorer la clarté.

Pour l'exercice 1, c'est très bien.

Passons à l'exercice 2.

Question 1 : La réponse est correcte, mais la méthode est un peu longue.
Question 2 : \(\hat{CDI}=60\)°, tu peux alors calculer les projections de \(\vec{DI}\) sur \(\vec{DC}\) et \(\vec{DA}\).
\(\hat{BCL}=60\)°, tu peux alors calculer les projections de \(\vec{CL}\) sur \(\vec{DC}\) et \(\vec{DA}\).

Bonne continuation.

Bonsoir,
Désolé mais je ne vous suit pas, on a jamais parler de "projection de vecteur" en cours, je ne voit pas trop ce que sa veut dire.

Bonsoir Jérémy,

Le vecteur \(\vec{DI}\) par exemple est la somme de deux vecteurs, l'un colinéaire à \(\vec{DC}\) et l'autre colinéaire à \(\vec{DA}\).

Ce sont ces vecteurs que j'ai appelés projections de\(\vec{DI}\) sur \(\vec{DC}\) et \(\vec{DA}\).

Tu peux calculer ces deux vecteurs en utilisant l'angle \(\hat{CDI}=60\)°.

Essaye de continuer toi-même.

Bonsoir,
Je vais encore vous le dire : désolé, j'ai beau réfléchir je ne voit pas du tout comment faire.
Je n'ai jamais fais ce genre d'exercice en classe :/
Pourriez vous me donner une petite amorce pour le point I puis je tenterai de faire la même chose pour L?

Bonsoir Jérémy,

Soit H le point de (DC) tel que DHI soit rectangle en H et K le point de (DA) tel que DKI soit rectangle en K,
alors \(\vec{DI}=\vec{DH}+\vec{DK}\).

Les longueurs DH et DK que tu dois savoir calculer sont les coordonnées de I dans le repère \((D;\vec{DC},\vec{DA})\).

A toi de continuer.

Bonsoir,
alors pour calculer DK j'ai dit que DK=HI avec HI la hauteur issue de I du triangle DCI
Or une hauteur d'un triangle est égale a xV3/2 où x représente la longueur du triangle.
j'ai donc calculer x en prenant le coté DC : DC=V(xc-xd)²+(yc-yd)²=V(1-0)²+(0-0)²=V1
On a DK=V1V3/2

Pour DH j'ai dit que la médiane issue de I coupe DC en son milieu.
On peut écrire DH=1/2DC
DC=V1 donc 1/2DC=1/2(V1)=1/2(1) =0.5


DH=0.5
DK=V1V3/2

Mais a mon avis c'est pas cela que vous attendiez^^

Bonsoir Jérémy,

Ainsi le point I a pour coordonnées \(I(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})\).

Essaye maintenant de calculer les coordonnées de L en t'inspirant du même principe.

Bonjour,
Enfaite quand on dit que par exemple C a pour coordonnées (1,0) et qu'on a D pour origine sa veut dire que C est a 1 du point D sur l'axe des abscisses ?
et donc a 0 du point D sur l'axe des ordonnées ?

Par contre ce que je ne vois pas, en quoi nous sert réellement de savoir que CDI=60 degré ?

Pour L j'ai fait comme ceci :

Soit F le point de (BC) tel que BCL soit rectangle en F et E le point de (AB) tel que BEL soit rectangle en E

On peut dire CF=FB puisque la médiane issue de L est aussi la hauteur et coupe BC en son milieu F ici.
Calculons alors CF :
BC=V(1-1)²+(0-1)²=V0+1=V1=1

On peut aussi dire que CF=1/2BC soit CF=1/2(1)=0.5

Calculons maintenant AE :
On sait que [AB] est un segment appartenant a AE.
Donc calculons AB : AB=V(1-0)²+(1-1)²=V1+0=V1=1
Calculons maintenant [BE] :
On peut écrire BE=FL où FL est la hauteur du triangle BCL (D'ailleurs la je me pose des questions, a t-on le droit de dire sa sans le prouver ?)
La hauteur d'un triangle équilatéral est égale a xV3/2 où x représente la longueur du triangle.
BC étant un coté de ce triangle que nous avons calculer précédemment, on peut écrire BE=FL=1V3/2=V3/2
Donc AE=AB+BE=1+V3/2 (là je ne peux pas simplifier je crois)

L(1+V3/2;1/2)

Si tout ceci est juste je rédige exactement ce que je viens d'écrire plus ce que vous m'avez dit pour m'aider ?


3) Calculer les coordonnées des vecteurs AI et AL

AI(xI-xA;yI-yA)
AI(1/2-0;V3/2-1)
AI(1/2;V3/2-1)

AL((V3/2+1)-0;1/2-1)
AL(V3/2+1;-1/2)

4) Que peut on en déduire sur les points A I L? Justifier

Ils sont alignés.
3 points A I L sont alignés si les vecteurs AI et IL sont colinéaires :
(1/2*-1/2)-((V3/2+1)*(V3/2-1)=(-1/4)-(-1/4)=-1/4+1/4=0
A I L sont bien colinéaires

Bonsoir Jérémy,

Tous tes résultats sont corrects ainsi que tes justifications, même si tu n'as pas choisi les méthodes les plus simples.

Attention, tu ne peux pas dire que A, I et L sont colinéaires : ils sont alignés.

A bientôt sur sos-math

Bonjour,
D'accord merci par contre pourriez vous relire mon message et répondre aux questions que j'ai mises ?
Je vais crée un nouveau sujet pour le 3eme exercice.
Encore merci :)

Bonsoir Jérémy,

C'est bien d'ouvrir un nouveau sujet pour l'exercice 3.

Par contre ce que je ne vois pas, en quoi nous sert réellement de savoir que CDI=60 degré ?

Les projections peuvent être calculées plus simplement par la trigonométrie du triangle rectangle.

On peut écrire BE=FL où FL est la hauteur du triangle BCL (D'ailleurs la je me pose des questions, a t-on le droit de dire sa sans le prouver ?)

Oui, il ne me paraît pas nécessaire d'alourdir la rédaction par la justification de ces évidences.

Si tout ceci est juste je rédige exactement ce que je viens d'écrire plus ce que vous m'avez dit pour m'aider ?

C'est à toi de décider de ta rédaction.

A bientôt sur un autre sujet.