exercice milieu et vecteur

[Marie]

bonjour,

dans un repère orthonormal (O,$\vec{i},\vec{j}$) on donne A(-2;3), B(1;4) et C(4;-5) dans chacun des cas suivants, déterminer les coordonnées du point M:
1) $\vec{BM}=\vec{AB}$
2) M milieu de [AC]
3) $2\vec{AB}+3\vec{CM}=\vec0$

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Soit $(x_M;y_M)$ les coordonnées du point M, alors $\vec{BM}(x_M-x_B;y_M-y_B)$.
Je pourrai aussi ajouter: deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

est ce que mes points sont bien placés?

Marie

[SoS-Math(2)]

Marie, le dernier point M est mal placé.
Evitez par la suite de nous envoyer plusieurs fois le même message, j'ai déja répondu au précédent.

[Marie]

bonjour,

j'ai refais la figure

Marie

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marie,

Ta figure semble convenable mis à part pour le point M de la question 3) qui semble faux. Ton exercice demande de "déterminer les coordonnées du point M" ; ce qui signifie qu'il faut les trouver par le calcul.
Petit rappel :
Si $B(x_B;y_B)$ et $M(x_M;y_M)$ alors $\vec{BM}(x_M-x_B;y_M-y_B)$

A bientôt

[Marie]

bonjour,

j'ai "seulement" réussi la question 2)

Xm=$\frac{Xa+Xc}{2}$
Xm=$\frac{-2+4}{2}$=1

Ym=$\frac{Ya+Yc}{2}$
Ym=$\frac{3-5}{2}$=-1

Marie

[SoS-Math(2)]

Marie, je vais vous aider pour la question 1)
Calculons les coordonnées des vecteurs
$2$\vec{AB}(X_B-X_A,Y_B-Y_A)$ donc (3;1)
$2$\vec{BM}(X_M-X_B,Y_M-Y_B)$
Les vecteurs sont égaux donc leurs coordonnées sont égales

$X_M-X_B=3$ et $Y_M-Y_B=.........$

A vous de continuer

[Marie]

bonjour,

$\vec{AB}=\vec{BM}$


$\vec{AB}=X_B-X_A=1-(-2)=3$
$\vec{AB}=Y_B-Y_A=4-3=1$
$\vec{AB}=(3;1)$


comme $\vec{AB}=\vec{BM}$ alors B est le milieu de [AM]


$X_B=\frac{X_A+X_M}{2}\\1=\frac{-2+X_M}{2}\\-2+X_M=2\\X_M=4$


$Y_M=\frac{Y_A+Y_M}{2}\\4=\frac{3+Y_M}{2}\\8=3+Y_M\\5=Y_M\\M(4;5)$

Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marie,

Votre façon de faire est juste. Les coordonnées de M dans la première question sont bien M(4;5).

Pour la dernière question :
$2\vec{AB}+3\vec{CM}=\vec0$ donc $3\vec{CM}=2\vec{BA}$ et donc $\vec{CM}=\frac{2}{3}\vec{BA}$

Les coordonnées des vecteurs vont vérifier la même relation. Il faut donc calculer les coordonnées de $\vec{BA}$ puis les coordonnées de $\frac{2}{3}\vec{BA}$ et enfin déterminer les coordonnées de M afin que les coordonnées de $\vec{CM}$ vérifient la relation $\vec{CM}=\frac{2}{3}\vec{BA}$.

Bon courage.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Marie
effectivement B est le milieu de [AM]
Votre démarche est juste
A bientôt

[Marie]

bonjour,

je ne comprend pas la quetion 3) comment puis je prouver $\vec{CM}=\frac{2}{3}\vec{BA}$?

Marie

[SoS-Math(7)]

Bonjour Marie,

Reprends ce qui a été dit :

$2\vec{AB}+3\vec{CM}=\vec0$ donc $3\vec{CM}=2\vec{BA}$ et donc $\vec{CM}=\frac{2}{3}\vec{BA}$

A bientôt

[Marie]

bonjour,

$\vec{BA}=X_A-X_B=-2-1=-3\\\vec{BA}=Y_A-Y_B=3-4=-1$

Marie

[Marie]

bonjour,

$\vec{BA}=X_A-X_B=-2-1=-3\\\vec{BA}=Y_A-Y_B=3-4=-1$

maintenant que j'ai trouvé $\vec{BA}$ je fais comment pour trouver $\frac{2}{3}\vec{BA}?$