SOS-MATH

Bonjour, j'ai un devoir maison a rendre dans une semaine et j'aimerez que vous m'éclaircissait l'exercice svp
On a un quadrilatère quelconque. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.
2. Comment choisir ABCD pour que IJKL soit un losange ? Pour que IJKL soit un carré ?
ps : il faut démontrer qu'avec des lettres, donc sans les mesures
1. On sait que ABCD est un quadrilatère.

On trace une droite passant par B et D.
Dans le triangle ABD on sait que I est le milieu respectif de [AB] et que L est le milieu respectif de [AD]
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on sait que si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (IL) // (BD)
Or on sait aussi que dans le triangle BDC, J est le milieu respectif de [BC] et que K est le milieu respectif de [DC]
Or, d'après le Théorème de la droite des milieux on a (JK) // (BD)
Or (IL) // (BD)
Donc on a (BD) // (IL) // (JK)

Tracons une droite passant par A et C.
Dans le triangle BAC, on sait que J est le milieu respectif de [BC] et que I est le milieu respectif de [AB].
Or d'après le Théorème de la doite des milieux, on a (IJ) // (AC)
Dans le triangle ADC, on sait que K est le milieu respectif de [DC] et que L est le milieu respectif de [AD].
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on a (KL) // (AC)
Or (IJ) // (AC)
Donc on a (AC) // (IJ) // (KL)

Or si on a (IJ) // (KL) et (IL) // (JK)
On peut dire que IJKL est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Donc IJKL est un parallélogramme

Par contre pour la deuxième question je pense partir sur les propriétés de bases d'un losange et d'un carré ( côtés opposés égaux, ...).

Par avance merci beaucoup pour votre aide

Bonsoir :

Tu as déjà fait l'essentiel. Mais puisque tu utilises le théorème des milieux, autant l'utiliser complètement. Tu sais aussi que que le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle a une longueur égale à la moitié du troisième côté.

Et puis essaye de répondre à la question suivante : que faut-il de plus à un parallélogramme pour être un losange ? un rectangle ?

Bonne chance.

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire, on m' expliquer qu'il fallait que je parte sur les diagonales du quadrilatère
et si je fais q=aussi ce que vous dites je trouve par exemple Jk = BP/2
mais je ne vois pas à quoi sa m'avance ...

Bonsoir :

Tu n'as pas répondu à ma question :

Et puis essaye de répondre à la question suivante : que faut-il de plus à un parallélogramme pour être un losange ? un rectangle ?

Ensuite on verra comment obtenir les informations pour essayer de répondre aux questions posées.

Bonne chance.

Et bien il faut que les diagonales soient perpendiculaires

Bonsoir :

Sauf que tu ne sais rien sur les diagonales du quadrilatère ABCD. Pas d'autres propriétés connues.

Bonne chance.

Et bien ils ont aussi leur côtés opposés parralèles et de même longueur (losange + carré)

Bonsoir :

Ça c'est la définition d'un parallélogramme, pas d'un losange.

A bientôt.

un losange a tous ses côtés égaux et un carré c'est un losange rectangle.

je pense avoir trouvé :

pour le losange :
prenons par exemple ABC : on sait que IJ passe par les milieux de 2 côtés d'1 triangle
or si 1 segment joint les milieux de 2 cotés dun trinagle alors sa longueur est égale a la moitié du troisième cotés
donc on a : IJ = AC / 2
et dans le triangle DCA pareil, on a alors LK = AC / 2
donc LK = IJ
et ca pareil pôur tous les cotés

et pour le carré : pareil

Bonsoir :

Tu as ce résultat depuis longtemps puisque tu as montré que IJKL est un parallélogramme.
Tu veux que ce soit un losange donc tu veux que IJ=JK.

Peut-on remplacer cette relation entre IJ et JK par une relation avec les côtés du quadrilatère initial.

J'attends ta proposition.

Bonne chance.

Bonsoir :

Attention à ne pas poster plusieurs fois un même problème. On ensuite du mal à suivre l'évolution.
Il va falloir que tu cherches un peu.

Tu as bien écrit quelque part une relation entre IJ et AC, et une relation entre JK et BD. Donc si tu veux que IJ=JK il faut que .......

A bientôt.

Tu as bien écrit quelque part une relation entre IJ et AC, et une relation entre JK et BD. Donc si tu veux que IJ=JK il faut que .......

et bien Ij et AC sont parallèles et Jk et BD aussi donc si on veut que IJ=JK il faut que AC=BD ?

Bonsoir :

Ta réponse est correcte mais je ne pense pas que cela provienne du fait que (IJ)//(AC) ou (JK)//(BD).
J'ai bien insisté dans mon premier message que le théorème des milieux ne fournissait pas uniquement un résultat sur le parallélisme. Ce n'était certainement pas innocent.

Bonne chance.

Prends le temps d'organiser et de rédiger ta réponse. Ce n'est pas un concours de vitesse.

Ben le théromème de la droite des milieux dis aussi que si une droite passe par 2 cotés d'un triangle alors il est égal a la moitié du troisième coté donc IJ = Ac/2 et Jk = BD/2 non ?