configuration du plan

[mimidu11]

Bonjour, j'ai un devoir maison a rendre dans une semaine et j'aimerez que vous m'éclaircissait l'exercice svp
On a un quadrilatère quelconque. I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.
2. Comment choisir ABCD pour que IJKL soit un losange ? Pour que IJKL soit un carré ?
ps : il faut démontrer qu'avec des lettres, donc sans les mesures

DSC00064.JPG (10.81 Kio) Vu 2838 fois

1.On sait que ABCD est un quadrilatère.

On trace une droite passant par B et D.
Dans le triangle ABD on sait que I est le milieu respectif de [AB] et que L est le milieu respectif de [AD]
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on sait que si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Donc (IL) // (BD)
Or on sait aussi que dans le triangle BDC, J est le milieu respectif de [BC] et que K est le milieu respectif de [DC]
Or, d'après le Théorème de la droite des milieux on a (JK) // (BD)
Or (IL) // (BD)
Donc on a (BD) // (IL) // (JK)

Tracons une droite passant par A et C.
Dans le triangle BAC, on sait que J est le milieu respectif de [BC] et que I est le milieu respectif de [AB].
Or d'après le Théorème de la doite des milieux, on a (IJ) // (AC)
Dans le triangle ADC, on sait que K est le milieu respectif de [DC] et que L est le milieu respectif de [AD].
Or d'après le Théorème de la droite des milieux on a (KL) // (AC)
Or (IJ) // (AC)
Donc on a (AC) // (IJ) // (KL)

Or si on a (IJ) // (KL) et (IL) // (JK)
On peut dire que IJKL est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Donc IJKL est un parallélogramme

Par contre pour la deuxième question je pense partir sur les propriétés de bases d'un losange et d'un carré ( côtés opposés égaux, ...), mais je ne comprens rien a la question ...

Par avance merci beaucoup pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonsoir

Ta première partie me semble correcte.

Pour le seconde, pense que tu as utilisé les diagonales de ABCD.
Que sais-tu des côtés d'un losange ? Déduis-en la propriété que les diagonales de ABCD doivent vérifier pour que les côtés soient ...
Que sais-tu des côtés d'un rectangle ? Déduis-en la propriété que les diagonales de ABCD doivent vérifier pour que les côtés soient ...

Bon courage pour terminer

[mimidu11]

pour le losange : On sait que IJ passe par le milieu de 2 cotés du triangle abc donc déprès la propriété : si 1 segement joint les milieux de 2 cotés d'1 triangle alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième coté du triangle donc IJ = AC / 2
pareil pour le triangle DAC on a LK = AC / 2
Donc LK=IJ

pour le carré : pareil

et sa pour tous les cotés de IJKL nn ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir

Donc tu peux conclure que lorsque les diagonales de ABCD ont la même longueur on a un losange.
Pour avoir un carré tu dois avoir une propriété en plus (cf le rectangle), conclus avec une autre propriété des diagonales.

Bonne continuation

[mimidu11]

Pour avoir un carré tu dois avoir une propriété en plus (cf le rectangle), conclus avec une autre propriété des diagonales.

et bien pour un rectangle, les diagonales doivent etre égales donc pour avoir un carré il faut que les diagonales de ABCD soient égales , non ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Attention, il ne faut pas confondre dans les propriétés que vous énoncez les diagonales de IJKL et celles de ABCD.
On sait que IJKL est un parallélogramme.
Pour que ce soit un losange, il faudrait que deux côtés consécutifs de IJKL soient égaux.
Donc effectivement puisque IJ=AC/2 et IL=BD/2, vous voyez donc assez clairement sans doute ce qu'il faudrait pour que IJ=IL.
Pour que le losange IJKL soit un carré, il faudrait qu'il ait un angle droit...
A vous de finir.
Bon courage.