Exercice
Posté : mer. 28 févr. 2024 22:25
Bonjour, pourriez-vous me dire si la solution que j'ai apportée au problème ci-dessous est correcte ? En vous remerciant.
On définit \(D_{0} := \left\{f \in \mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R}), f'(0) = 0\right\}\). Quelle est l'intersection entre \(D_{0}\) et \(\mathbb{R}_{2}[X],\mathbb{R}_{1}[X],\mathbb{R}_{0}[X]\) ?
En premier lieu \(\mathbb{R}_{2}[X] := \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} | f(x) = a_{1}x^2 + a_{2}x + a_{3} \right\}\). Dès lors on peut remarque que \(\mathbb{R}_{0}[X] \subseteq \mathbb{R}_{1}[X] \subseteq \mathbb{R}_{2}[X]\) (1). Pour être le plus général possible, on prend la fonction f que l'on a définie précédemment, tout d'abord \(f \in \mathbb{\mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})}\), ensuite \(f'(x) = 2a_{1}x + a_{2}\), soit alors \(f'(0) = 0 \iff a_{2} = 0\), finallement de (1), il vient \(D_{0} \cap \mathbb{R}_{2}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{1}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{0}[X] = \left\{0 \right\}\)
On définit \(D_{0} := \left\{f \in \mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R}), f'(0) = 0\right\}\). Quelle est l'intersection entre \(D_{0}\) et \(\mathbb{R}_{2}[X],\mathbb{R}_{1}[X],\mathbb{R}_{0}[X]\) ?
En premier lieu \(\mathbb{R}_{2}[X] := \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} | f(x) = a_{1}x^2 + a_{2}x + a_{3} \right\}\). Dès lors on peut remarque que \(\mathbb{R}_{0}[X] \subseteq \mathbb{R}_{1}[X] \subseteq \mathbb{R}_{2}[X]\) (1). Pour être le plus général possible, on prend la fonction f que l'on a définie précédemment, tout d'abord \(f \in \mathbb{\mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})}\), ensuite \(f'(x) = 2a_{1}x + a_{2}\), soit alors \(f'(0) = 0 \iff a_{2} = 0\), finallement de (1), il vient \(D_{0} \cap \mathbb{R}_{2}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{1}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{0}[X] = \left\{0 \right\}\)