SOS-MATH

Bonjour,

Je dois démontrer la formule de mesure de distance dans un repère orthonhormé (la formule avec la racine carrée et la différence d'abscisse/d'ordonné au carré).
Ma prof dit que c'est archi simple en utilisant le théorème de Pythagore mais bon...

Merci

Bonjour,
effectivement, ce n'est pas très compliqué pour un professeur mais ce l'est beaucoup plus pour un élève de seconde.
Tu peux commencer par faire un schéma générique en plaçant deux points dans un repère avec leurs coordonnées : \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\). Puis tu places le point \(H\) tel que le triangle \(ABH\) soit rectangle en \(H\) (\([AB]\) doit être l'hypoténuse du triangle).
Cela doit ressembler à cela : Ensuite, tu peux appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(ABH\) :
\(AB^2=HA^2+HB^2\)
Les longueurs \(HA\) et \(HB\) dépendent des coordonnées de \(A\) et de \(B\).
Je te laisse réfléchir à la suite.

Oui, du coup j'ai fait :

AH=yA-yB si yA>yB
ou yB-yA si yB>a

ET

HB=xB-xA si xB>xA
ou xA-xB si xA>xB

et voila ensuite je ne sais pas trop désolé

Bonjour,
comme l'a précisé sos-math(21) il faut appliquer le théorème de Pythagore donc tu as besoin des carrés des longueurs.
Ainsi \(AH^2= (y_A-y_B)^2\) et \(HB^2=(x_B-x_A)^2\)
et comme le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\) tu as d'après le théorème de Pythagore :
\(AB^2=AH^2+HB^2\)
Comprends tu?
SoS-math

Oui !

Très bien,
tu as bien raisonné en disant que la distance \(AH\) peut valoir \(y_B-y_A\) ou \(y_A-y_B\) selon la position relative de \(A\) et \(B\).
Ces deux grandeurs sont opposées donc quand on prend leur carré, ces carrés sont égaux (deux nombres opposés ont le même carré) ce qui signifie que l'on peut écrire \(AH^2=(y_B-y_A)^2=(y_A-y_B)^2\). Par analogie avec les vecteurs, comme on va de \(A\) vers \(B\) quand on écrit \(AB\), on fait \(\text{point d'arrivée}-\text{point de départ}\) donc on privilégie l'écriture \(AH^2=(y_B-y_A)^2\).
Même chose pour \(BH^2=(x_B-x_A)^2\) quelles que soient les positions relatives de \(A\) et \(B\).
Bonne conclusion

En recopiant au propre,
je me suis demandée pourquoi vous aviez écrit que AH correspond à xb et xa et HB à yb et ya, ce ne serait pas l'inverse ?

Merci

Bonjour,
oui tu as raison, j'ai dû inversé en répondant.
En s'appuyant sur la figure envoyée, on a :
\(BH\) correspond à l'écart positif entre \(x_A\) et \(x_B\).
\(AH\) correspond à l'écart positif entre \(y_A\) et \(y_B\).
Je corrige dans le message.
Bonne continuation