SOS-MATH

Bonjour

https://www.youtube.com/watch?v=__KaMRG51Ts
dans cet vidéo, il est expliqué comment faire pour montrer qu'une fonction est croissante.
Mais comment faire pour montrer qu'une est décroissante, rien qu'avec son équation.

Merci !

Bonjour alix,
si tu visionnes en entier la vidéo tu as la réponse à ta question.
Je te laisse donc reprendre cette vidéo.
Tu peux revenir ensuite si tu as d'autres questions, ou un exercice.
SoS-math

J'ai regardé en entier, merci.

Du coup récapitulatif :
f est décroissante
pour le prouver :
on sait que f(a)>f(b) donc il faut montrer que f(a)-f(b)>0, comme ca on saura que f(a)>f(b).
Est ce bien cela ?

Et du coup pour montrer que f est croissante je ne sais pas...

Merci encore

Ce n'est pas ça,
pour montrer qu'elle est décroissante :
si \(a>b\) alors \(f(a)-f(b)<0\) ce qui revient aussi à \(f(a)<f(b)\)
pour montrer qu'elle est croissante
si \(a>b\) alors \(f(a)-f(b)>0\) ce qui revient aussi à \(f(a)>f(b)\)
Est-ce plus clair?
SoS-math

Mais il ait dit
f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b) dans la vidéo donc cela ne va pas avec ce que vous dites...

C'est la même chose Alix,
pour qu'elle soit décroissante il faut que les images de \(a\) et \(b\) ne soient pas dans le même ordre que \( a\) et \(b\).
On peut donc dire si : \(a<b\) alors \(f(a)>f(b)\) ou si \(a>b\) alors \(f(a)<f(b)\)
SoS-math

Oui merci j'ai compris.

Mais du coup si on me demadnde de montrer qu'une fonction est décroissante je fais quoi ? et pour une fonction croissante ?

Merci

Bonjour,
on va faire un exemple pour que tu comprennes,
On va montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-5\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
On prend deux nombres réels quelconques \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et on suppose par exemple que \(a<b\).
Comme on est sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et qu'on sait que la fonction carré est croissante sur cet intervalle, on peut prendre les carrés de chaque côté de l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité : une fonction croissante respecte l'ordre des inégalités donc \(a^2<b^2\).
Ensuite, on soustrait 5 à chaque membre, ce qui ne change pas l'ordre : on ne change pas l'ordre d'une inégalité lorsqu'on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'inégalité.
On obtient donc \(a^2-5<b^2-5\).
Finalement on a montré que \(a<b\Longrightarrow f(a)<f(b)\) sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), ce qui prouve bien que la fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle.
Est-ce plus clair ?