exo

[alix]

Bonjour

https://www.youtube.com/watch?v=__KaMRG51Ts
dans cet vidéo, il est expliqué comment faire pour montrer qu'une fonction est croissante.
Mais comment faire pour montrer qu'une est décroissante, rien qu'avec son équation.

Merci !

[SoS-Math(33)]

Bonjour alix,
si tu visionnes en entier la vidéo tu as la réponse à ta question.
Je te laisse donc reprendre cette vidéo.
Tu peux revenir ensuite si tu as d'autres questions, ou un exercice.
SoS-math

[alix]

J'ai regardé en entier, merci.

Du coup récapitulatif :
f est décroissante
pour le prouver :
on sait que f(a)>f(b) donc il faut montrer que f(a)-f(b)>0, comme ca on saura que f(a)>f(b).
Est ce bien cela ?

Et du coup pour montrer que f est croissante je ne sais pas...

Merci encore

[SoS-Math(33)]

Ce n'est pas ça,
pour montrer qu'elle est décroissante :
si $a>b$ alors $f(a)-f(b)<0$ ce qui revient aussi à $f(a)<f(b)$
pour montrer qu'elle est croissante
si $a>b$ alors $f(a)-f(b)>0$ ce qui revient aussi à $f(a)>f(b)$
Est-ce plus clair?
SoS-math

[alix]

Mais il ait dit
f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b) dans la vidéo donc cela ne va pas avec ce que vous dites...

[SoS-Math(33)]

C'est la même chose Alix,
pour qu'elle soit décroissante il faut que les images de $a$ et $b$ ne soient pas dans le même ordre que $a$ et $b$.
On peut donc dire si : $a<b$ alors $f(a)>f(b)$ ou si $a>b$ alors $f(a)<f(b)$
SoS-math

[alix]

Oui merci j'ai compris.

Mais du coup si on me demadnde de montrer qu'une fonction est décroissante je fais quoi ? et pour une fonction croissante ?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
on va faire un exemple pour que tu comprennes,
On va montrer que la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-5$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
On prend deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ de l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et on suppose par exemple que $a<b$.
Comme on est sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ et qu'on sait que la fonction carré est croissante sur cet intervalle, on peut prendre les carrés de chaque côté de l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité : une fonction croissante respecte l'ordre des inégalités donc $a^2<b^2$.
Ensuite, on soustrait 5 à chaque membre, ce qui ne change pas l'ordre : on ne change pas l'ordre d'une inégalité lorsqu'on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'inégalité.
On obtient donc $a^2-5<b^2-5$.
Finalement on a montré que $a<b\Longrightarrow f(a)<f(b)$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, ce qui prouve bien que la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.
Est-ce plus clair ?