DM pour demain

[Lysandre]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour demain mais je ne comprends pas les deux exercices suivants:


1) Factoriser à l’aide d’un facteur commun ou d’une identité remarquable:
D(x) = 4x ( 2x – 2 ) - ( x + 3 )(2x - 2) ; H(x) = 64 x² - 32x + 4 ;
I(y)= 36 + 12y + y²

2) 2 exposant 2015 est un très grand nombre, tellement grand que les calculatrices ne peuvent pas le
donner : il faut plus de 600 chiffres pour l’écrire. Saurais-tu trouver le dernier chiffre
de ce nombre ?


Merci d'avance pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour factoriser une expression littérale, il y a deux grandes méthodes :
- identifier un facteur afin de transformer la somme en un produit ;
- identifier le développement d'une identité remarquable afin d'obtenir sa forme factorisée
Pour ton premier exemple, tu as $D(x) = 4x \underline{( 2x – 2 )} - ( x + 3 )\underline{(2x - 2)}$
Donc il s'agit d'écrire une fois le facteur commun et de mettre entre crochets tout ce qui était multiplié à ce facteur commun :
$D(x) = {\color{red}{4x}} \underline{( 2x – 2 )}-{\color{green}{( x + 3 )}}\underline{(2x - 2)}=(2x-2)\left[ {\color{red}{4x}}-{\color{green}{( x + 3 )}}\right]$. Je te laisse réduire le deuxième facteur.
Pour H et I, il 'agit de reconnaître une identité remarquable : $H(x)= 64 x² - 32x + 4 =(8x)^2-2\times 2\times 8x+2^2$ de la forme $a^2-2ab+b^2$ qui se factorise en $(a-b)^2$.
Pour, l'exercice 2, calcule les premières puissances de 2 :
$2^1=2$
$2^2=4$
$2^3=8$
$2^4=16$
$2^5=32$
$2^6=64$
$2^7=128$
$2^8=256$
Tu remarques que les puissances de 2 se terminent tour à tour par 2,4,8,6, 2,4,8,6 : autrement dit il y a comme un cycle (c'est une période en maths).
Il s'agit désormais de faire le lien entre l'exposant et le dernier chiffre.
Bonne étude

[Lysandre]

Pour le dernier exercice j’ai trouvé 8 parce qu’il y a un cycle qui se répète toutes les 4 puissances de 2 donc le dernier chiffre de tous les multiples de 4 sera 6. Vu que le multiple de 4 le plus proche de 2015 est 2016 j’en déduit que la réponse est 8.

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela.
C'est une histoire de reste dans la division euclidienne de 2015 par 4 : $2015 = 4\times 503+3$ donc le reste dans la division euclidienne de 2015 par 4 est égale à 3 donc le chiffre des unités sera le même que $2^3$ ou $2^7$ ou $2^{11}$,... bref tous les nombres qui auront un exposant ayant un reste égal à 3 dans la division euclidienne par 4 : ils se terminent tous par 8.
Pour rire, tu peux regarder la valeur de ce nombre en Python, car Python affiche tous les nombres entiers sans (presque) limitation :

Code : Tout sélectionner

2**2015
3762194662274677225006147833619028325244330646204236432925139720030670885330519044445501804761927745268763736929034118016031519410956059710016491867886889157890211484313592791062569915129529790346983079610400317269003975512764853909825684309294001486918614927217865484171497622917064676132001029225523861302285726809602736311578770958185727882065830756366057561021042715214545162477118465368433226000538225835881149829186249682400183653494069108786491864970103748052744856652666373379197565574074550935728305785527534076832933033391949562148135756886265861748671407745362911914163091988879273202451394592768

Bonne continuation