URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

[Lili]

Bonjour,
Alors voilà....
J'ai un DM à rendre pour demain sur ce sujet:
V3=p/q, avec p et q entiers naturels premiers entre eux et q non nul. V3 est rationnel.

1)On veut montrer que si 3 est un diviseur de p², alors il est aussi un diviseur de p. Pour cela, on raisonne par l'absurde.

2) Montrer que p²=3q².

3)On suppose que 3 n'est pas diviseur de p. Montrer qu'alors le nombre p peut s'écrire, sois sous la forme 3k+1, soit sous la forme 3k+2, avec k entier.

Si vous pouviez me répondre vite ça serait vraiment géniale merci beauuuucoupppp!!!!!!♡♡♡

[sos-math(21)]

Bonjour,
si on suppose que $\sqrt{3}$ est rationnel, alors il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux tels que $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ : cela signifie que la fraction est supposée irréductible.
À partir de l'égalité $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$, on a $p=\sqrt{3}q$, donc en élevant au carré, on a $p^2=3q^2$.
Cette relation signifie que 3 est un diviseur de $p^2$.
Pour montrer que 3 est aussi un diviseur de $p$, alors on procède par disjonction de cas :
Dans la division euclidienne du nombre entier $p$ par 3, le reste est soit 0, soit 1, soit 2.

• Si $p = 3k+1$, alors $p^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$ donc si 3 divise $p^2$, comme 3 divise $9k^2+6k$, alors 3 divise la différence des deux : $p^2-9k^2-6k-3=1$, ce qui est impossible
• Si $p=3k+2$, alors $p^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1$ donc si 3 divise $p^2$, comme 3 divise $9k^2+12k+3$, alors 3 divise la différence des deux : $p^2-9k^2-12k-3=1$, ce qui est impossible

Donc il reste seulement la possibilité de $p=3k$ donc que 3 divise aussi $p$.
Bonne compréhension

[Lili]

D'accord merci énormément
Mais pour la question où il faut montrer par l'absurde je ne suis pas sur que ça soit ça 😅

[Lili]

D'accord merci énormément
Mais pour la question où il faut montrer par l'absurde je ne suis pas sur que ça soit ça 😅

[Lili]

Merci énormément !!!!!
Mais je ne vois pas dans quel ordre sont les questions où est la question 1 où est la question 2 et la question 3 s'il vous plaît ?
Merciiiiii

[SoS-Math(33)]

Bonjour Lili, comme indiqué par sos-math(21)
1) Pour le raisonnement par l'absurde :
On suppose que 3 n'est pas un diviseur de p.
On a donc 2 cas : p =3k+1 ou 3k+2.
1er cas : p =3k+1
alors p² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k) +1
donc p² n'est pas divisible par 3
ce qui contredit l'hypothèse que 3 divise p² (car p²=3q²).
Donc le cas 1 ne marche pas.
A toi d'étudier le cas 2.

2) tu as $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ si tu élèves au carré de chaque côté tu obtiens : $3 = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}$
et donc $p^2=3q^2$
SoS-math