vecteurs

[patricia]

bonjour,
j'ai un souci que j'arrive pas à résoudre dans mon exercice, je ne sais pas quelle formule utiliser pour trouver k, et ce k, se répercute sur les autres questions de l'exercice.

l'énoncé est "Soit I le point d’intersection des droites (CD) et (AB) et k le réel tel que : $\vec{CI}=k\vec{CD}$

et que je dois "Exprimer les coordonnées de I en fonction de k".
voilà ce que je sais: $\vec{CD}(\frac{1}{2};-\frac{31}{6})$
et que $C(\frac{1}{2};\frac{7}{2})$

j'ai donc commencé par écrire ceci:
$\vec{CI}(xI-xC;yI-yC) soit (xI-\frac{1}{2};yI-\frac{7}{2})$

$\vec{CI}\binom{x-\frac{1}{2}=k\frac{1}{2}}{y-\frac{7}{2}=k-\frac{31}{6}}$
$soit \binom{x=\frac{1}{2}+k\frac{1}{2}}{y=\frac{7}{2}+k-{\frac{31}{6}}{}}$

donc à partir d'ici je suis bloquée, normalement on utlise dét// quand on connait les coordonnées des deux vecteurs, or il me manque mon I et jene sais pas comment allée plus loin. si quelqu'un peut me mettre sur la piste, car la suite des questions de l'exercice reste bloqué avec ce k, merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si ta question est "exprimer les coordonnées de $I$ en fonction de $k$", alors ta démarche est correcte.
Ensuite, il te reste à utiliser les coordonnées de $I\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{k}{2}\,;\,\dfrac{7}{2}-\dfrac{31k}{6}\right)$ (j'utilise tes résultats et je ne me prononce pas sur leur validité), pour exprimer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $k$.
Ton point $I$ appartenant à la droite $(AB)$, car c'est le point d'intersection de $(CD)$ et $(AB)$, tes vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}$ seront colinéaires donc leur déterminant serai égal à 0. Ce déterminant s'exprimant en fonction de $k$, tu auras une équation d'inconnue $k$ que tu résoudras, ce qui te donnera à la fois les coordonnées des vecteurs et celle du point $I$.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

[patricia]

bonjour,
effectivement, c'est bien ce que j'avais commencé à faire, sauf mes k qui sont placés différemment, cela donne de mon côté:
$I (\frac{1}{2}+k\frac{1}{2};\frac{7}{2}+k-\frac{31}{6})$
et effectivement j'ai bien ceci à la suite de l'énoncé:
b)Exprimer les coordonnées de $\vec{AI}$en fonction de k.
c)En utilisant le fait que les vecteurs $\vec{AI}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires, calculer le réel k.

ce qui donne ceci pour le b) si je ne me suis pas trompée
on sait que A (-1;1) et que I $(\frac{1}{2}+k\frac{1}{2};\frac{7}{2}+k-\frac{31}{6})$
$\vec{AI} (\frac{1}{2}+k\frac{1}{2}-(-1);\frac{7}{2}+k-\frac{31}{6}-1)$
$(\frac{3}{2}+k\frac{1}{2};\frac{5}{2}+k-\frac{31}{6})$
pourquoi mes k sont placés différemment des vôtres ? est-ce que cela à de l'importance sur le résultat?

et pour le c) j'arrive a ceci:
$\begin{vmatrix} \frac{3}{2}+k\frac{1}{2} &-&3 \\ \frac{5}{2}+k-\frac{31}{6}&-& \frac{1}{2} \end{vmatrix}=(\frac{3}{4}+k\frac{1}{2})-(\frac{15}{2}+k-\frac{31}{6})=...=0$
mon soucis étant que je n'arrive pas à réduire dans cette partie pour trouver la partie des ... pour ensuite arriver à 0 à cause des k qui me gêne et je ne sais pas quelle formule utiliser.

et pour finir j'aurai bien à en déduire les coordonnées de I, qui pour le moment reste à l'identique du a)
j'espère que vous pourrez me donner une piste ou me dire si j'ai fais une erreur quelque part. en vous remerciant.

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention au sens des expressions littérales : tu as $k\times \overrightarrow{CD}$ donc tu vas multiplier les coordonnées de ce vecteur par $k$ donc cela justifie le $k\times \dfrac{1}{2}= \dfrac{k}{2}$ et le $k\times \dfrac{-31}{6}=-\dfrac{31k}{6}$.
Il faut ensuite reprendre ta démarche : tes $k$ sont comme des $x$ donc il s'agit de les isoler car tu résous une équation d'inconnue $k$.
Peux-tu me donner les coordonnées de tes points de départ afin que je vérifie tes réponses ?
Bonne continuation

[patricia]

oui, bien sur
Dans un repère orthonormé (O; $\vec{i}$; $\vec{j}$)d’unité 1cm, soient les points A (-1 ;1) ; B (2;$\frac{3}{2}$) ; C ($\frac{1}{2}$;$\frac{7}{2}$) et D (1;$-\frac{5}{3}$).
je vous joint ci-dessous mon repère orthonormé

il fallait aussi que je calcul les coordonnées des vecteurs $\vec{AB},\vec{CD},\vec{AD},et \vec{CB}$
ce qui donne, je vous mets directement les résultats
$\vec{AB}(3;\frac{1}{2})$
$\vec{CD}(\frac{1}{2};-\frac{31}{6})$
$\vec{AD}(2;-\frac{8}{3})$
$\vec{CB}(\frac{3}{2};-\frac{4}{2}ou -2)$

repère orthonomé.PNG (10.18 Kio) Vu 3494 fois

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tes calculs sont corrects et tu devrais alors trouver : $k=\dfrac{3}{7}$ et $I\left(\dfrac{5}{7}\,;\,\dfrac{9}{7}\right)$.
Bonne continuation

Téléchargez la figure ici.

Bonne continuation

[patricia]

ok, j vous remercie beaucoup de votre aide, bonne journée

[sos-math(21)]

Bonne continuation et à bientôt sur sos-math