0,45673.... rationnel

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Clémentine

0,45673.... rationnel

Message par Clémentine » mar. 15 oct. 2019 19:25

Bonjour,
Je dois prouver que 0,45673673 est rationnel. Je pense que je dois prouver que c'est une fraction de 2 nombres entiers, mais je suis bloquée. Pouvez-vous m'aider, svp?
SoS-Math(33)
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Re: 0,45673.... rationnel

Message par SoS-Math(33) » mar. 15 oct. 2019 19:36

Bonsoir Clémentine,
le nombre que tu proposes a un nombre fini de chiffres après la virgule,
donc on peut l'écrire sous la forme d'une fraction décimale et c'est donc un nombre décimal , c'est donc un nombre rationnel
0,45673673 = 45673673/100000000
SoS-math
Clémentine

Re: 0,45673.... rationnel

Message par Clémentine » mar. 15 oct. 2019 20:24

Désolée, je n'ai pas été très claire, mais en fait c'est 0.45673673.....673 étant répété indefiniment
Clémentine

Re: 0,45673.... rationnel

Message par Clémentine » mer. 16 oct. 2019 07:14

En fait, je me suis mal exprimée. C'est 0,45673673.....avec 673 indefiniment.
J'ai essayé en utilisant une somme de quotients: 45/100+a/b= 0,45673673... Mais je me retrouve avec 2 inconnues, donc bloquée!
SoS-Math(31)
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Re: 0,45673.... rationnel

Message par SoS-Math(31) » mer. 16 oct. 2019 09:31

Bonjour Clémentine,
Ta dernière idée est bonne;
0,45673673.... = \(\frac{45}{100}\) + ?
En fait si tu résous 100 * 0,45673673.... -45 = B, tu trouves B = ,673673..
0,45673673.... = \(\frac{45 + B}{100}\)
Il faut recommencer avec B.
Remarque : 1000 B - 673 = B.
Maintenant tu as une équation avec une seule inconnue. A toi de résoudre l'équation précédente pour trouver B, puis remplaces dans 0,45673673.... = \(\frac{45 + B}{100}\).
Clémentine

Re: 0,45673.... rationnel

Message par Clémentine » mer. 16 oct. 2019 11:07

Bonjour,
Merci, j'ai bien compris jusqu'a 0,45673....=(45+B)÷100.
Mais ensuite je ne comprends " recommencer avec B"
Merci
sos-math(21)
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Re: 0,45673.... rationnel

Message par sos-math(21) » mer. 16 oct. 2019 13:39

Bonjour,
le raisonnement précédent t'a permis d'écrire que 0,45673673 peut s'écrire \(A=\dfrac{45+B}{100}\) où \(B=0,673673...\).
Il s'agit ensuite d'écrire \(B\) comme une fraction. On va se servir de la périodicité (673 qui se répète dans la partie décimale) de \(B\) pour obtenir une écriture fractionnaire de \(B\).
Si tu multiplies \(B\) par 1000, cela fait un décalage de 3 crans vers la droite, donc la période de B se retrouve en partie entière et tu obtiens \(1000B=673,673673\ldots\) donc \(1000B=673+0,673673\ldots\) donc on retrouve le nombre \(B\) dans le membre de droite donc on obtient une équation vérifiée par \(B\) : \(1000B=673+B\), que tu peux résoudre, ce qui te donnera une écriture fractionnaire pour \(B\).
Il te restera à remplacer \(B\) par cette écriture fractionnaire dans l'écriture \(A=\dfrac{45+B}{100}\) pour obtenir une écriture fractionnaire de \(A\) au final.
Bonne continuation
Clémentine

Re: 0,45673.... rationnel

Message par Clémentine » jeu. 17 oct. 2019 17:13

Merci beaucoup grâce à votre aide j'ai trouvé : 11407/ 24975
SoS-Math(33)
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Re: 0,45673.... rationnel

Message par SoS-Math(33) » jeu. 17 oct. 2019 18:40

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
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