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[Léo]

Bonjour à tous !
Je suis sur un exercice de maths depuis 2 jours et je n'arrive toujours pas à répondre aux 3 questions qui me reste si quelqu’un pourrai m'aider s'il vous plaît :

I1) De combien de façon différentes peut-on monter un escalier à 1 marche , 2 marches , 3 marches , 4 marches , 5 marches ? Sachant qu'on peut monter une ou deux marche à la fois

Ma réponse :
1 marche : 1 façon
2 marches : 2 façons
3 marches : 3 façons
4 marches : 5 façons
5 marches : 8 façons

on définit la suite (Un)n>=0 tel que pour n>=0 Un est le nombre de façons différentes de monter un escalier à n marches

I2) Montrer que pour tout n>= 0 , on a Un+2=Un+1+Un

Ma réponse :
1marche : Un+1= Un + 0Un
2 marches: Un+1+2Un
3marches : Un+3=Un+1+2Un
..

On admet que pour tout tout n >=0 , Un = α X (1+√5)^n / 2^n + ϐ(bêta) X (1-√5)^n/2^n , avec α , ϐ des réels .

et c'est sur ses 3 questions que je bloque :

1. Montrer que pour tout n >=0 , on a Un+2+Un
2.Calculer α et ϐ à partir de I1
3. En déduire la formule explicite donnant l'expression de Un en fonction de n

Merci d'avance ;-)

[SoS-Math(25)]

Bonjour Léo,

Je ne suis d'accord pour ta réponse à I2). Il faut décrire un raisonnement ici je pense.

Pour t'aider, on peut partir du fait que monter n+2 marches c'est d'abord monter n+1 marches. Parmi les \(U_{n+1}\) façons de monter les n+1 premières marches, il y a des façons qui se terminent en montant une seule marche et d'autres qui se terminent en montant 2 marches.... Je te laisse réfléchir. Ce n'est pas facile, il y a peut-être plus simple...

Pour I3)1)

Il faut écrire à l'aide de la formule donnée \(U_{n+1} + U_n\) et montrer que l'expression revient à écrire \(U_{n+2}\) à l'aide de cette formule.

Bon courage !