Bonjour, je n'arrive pas a faire l'exercice suivant:
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Démontrer que n-2 divise n+5 si et seulement si n=3 ou n=9
Pouvez vous m aider?
Spé-maths congruence
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SoS-Math(34)
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- Enregistré le : ven. 17 nov. 2017 09:31
Re: Spé-maths congruence
Bonjour,
Comme précisé dans les conditions d'utilisation du forum, il serait préférable de mettre ton prénom comme nom d'utilisateur.
Pour répondre à ta question, je te donne une piste.
Il s'agit d'utiliser la propriété dite "de combinaison linéaire". (voir ton cours au besoin)
"a, b et c sont des entiers. Si a divise b et c, alors pour tous entiers m et p, a divise mb + pc."
(n-2) -qui est non nul car n est supérieur ou égal à 3, divise (n+5) et (n-2) donc il divise m(n-2) + p(n+5) pour tous entiers m et p.
cela paraît compliqué, mais si tu choisis des valeurs adaptées pour m et p, m(n-2) + p(n+5) sera un entier simple c'est à dire ici indépendant de n. Par exemple, si tu choisis m = 1, quelle valeur de p permettrait "d'éliminer" l'entier n dans l'expression m(n-2) + p(n+5)? tu pourras alors continuer ton raisonnement... car tu seras amené à rechercher les diviseurs d'un entier connu (et indépendant de n).
Bonne recherche,
Sos-maths
Comme précisé dans les conditions d'utilisation du forum, il serait préférable de mettre ton prénom comme nom d'utilisateur.
Pour répondre à ta question, je te donne une piste.
Il s'agit d'utiliser la propriété dite "de combinaison linéaire". (voir ton cours au besoin)
"a, b et c sont des entiers. Si a divise b et c, alors pour tous entiers m et p, a divise mb + pc."
(n-2) -qui est non nul car n est supérieur ou égal à 3, divise (n+5) et (n-2) donc il divise m(n-2) + p(n+5) pour tous entiers m et p.
cela paraît compliqué, mais si tu choisis des valeurs adaptées pour m et p, m(n-2) + p(n+5) sera un entier simple c'est à dire ici indépendant de n. Par exemple, si tu choisis m = 1, quelle valeur de p permettrait "d'éliminer" l'entier n dans l'expression m(n-2) + p(n+5)? tu pourras alors continuer ton raisonnement... car tu seras amené à rechercher les diviseurs d'un entier connu (et indépendant de n).
Bonne recherche,
Sos-maths