signe de f(a) - f(b)
Posté : sam. 11 nov. 2017 13:35
Bonjour à tous , à toutes
Bon samedi après midi également !!
\(f(x) = \left(x - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\)
Soient a et b deux réels de [-2 ; 1,5] tel que a < b
Factoriser f(a) - f(b) et étudier le signe de l'expression obtenue
----------------------------------------------Réponse ------------------------------------------------
\(f(a) = \left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\) et \(f(b) =\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}\)
\(f(a) - f(b) = \left[\left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\right] - \left[\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\right]\)
je réécris sans les crochets et je m'aperçois déjà que les \(\frac{25}{4}\) s'éliminent
\(f(a)-f(b) = \left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}\)
il ne me reste plus qu'une expression de la forme : \(A^{2}-B^{2}\) et je peux utiliser une identité remarquable
\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b - \frac{3}{2}\right)\right)\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)-\left(b-\frac{3}{2}\right)\right)\)
\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(a - \frac{3}{2}+b - \frac{3}{2}\right)\left(b - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right)= \left(a + b -\frac{6}{2}\right)\left(a - b\right)\)
les \(\frac{3}{2}\) s'annulent dans le second
dans le premier \(\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b -\frac{3}{2}\right)\right) = \left(a + b - 3\right)\)
c'est \(\left(a - b\right)\left(a + b - 3\right)\) qu'il faut trouver
Pouvez vous m'aidez à trouver le signe de f(a) - f(b) ?
--> je comprends que l'on a un produit de deux facteurs :
- si un produit de deux facteurs de signe différents , le produit est négatif
- si un produit de deux facteurs de même signe , le produit est positif
donc si je pars de l'hypothèse a < b
pour trouver la définition de la fonction croissante il faut trouver \(f(a) < f(b) \Leftrightarrow f(a) < f(b)\)
et pour prouver que la fonction est décroissante, je rejoins la définition de la fonction décroissante \(a < b \Leftrightarrow f(a) > f(b)\)-
Bon samedi après midi également !!
\(f(x) = \left(x - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\)
Soient a et b deux réels de [-2 ; 1,5] tel que a < b
Factoriser f(a) - f(b) et étudier le signe de l'expression obtenue
----------------------------------------------Réponse ------------------------------------------------
\(f(a) = \left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\) et \(f(b) =\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}\)
\(f(a) - f(b) = \left[\left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\right] - \left[\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\right]\)
je réécris sans les crochets et je m'aperçois déjà que les \(\frac{25}{4}\) s'éliminent
\(f(a)-f(b) = \left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}\)
il ne me reste plus qu'une expression de la forme : \(A^{2}-B^{2}\) et je peux utiliser une identité remarquable
\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b - \frac{3}{2}\right)\right)\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)-\left(b-\frac{3}{2}\right)\right)\)
\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(a - \frac{3}{2}+b - \frac{3}{2}\right)\left(b - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right)= \left(a + b -\frac{6}{2}\right)\left(a - b\right)\)
les \(\frac{3}{2}\) s'annulent dans le second
dans le premier \(\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b -\frac{3}{2}\right)\right) = \left(a + b - 3\right)\)
c'est \(\left(a - b\right)\left(a + b - 3\right)\) qu'il faut trouver
Pouvez vous m'aidez à trouver le signe de f(a) - f(b) ?
--> je comprends que l'on a un produit de deux facteurs :
- si un produit de deux facteurs de signe différents , le produit est négatif
- si un produit de deux facteurs de même signe , le produit est positif
donc si je pars de l'hypothèse a < b
pour trouver la définition de la fonction croissante il faut trouver \(f(a) < f(b) \Leftrightarrow f(a) < f(b)\)
et pour prouver que la fonction est décroissante, je rejoins la définition de la fonction décroissante \(a < b \Leftrightarrow f(a) > f(b)\)-