signe de f(a) - f(b)

[léo]

Bonjour à tous , à toutes

Bon samedi après midi également !!

\(f(x) = \left(x - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\)

Soient a et b deux réels de [-2 ; 1,5] tel que a < b

Factoriser f(a) - f(b) et étudier le signe de l'expression obtenue

----------------------------------------------Réponse ------------------------------------------------

\(f(a) = \left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\) et \(f(b) =\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}\)


\(f(a) - f(b) = \left[\left(a - \frac{3}{2}\right)^{2}- \frac{25}{4}\right] - \left[\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}\right]\)

je réécris sans les crochets et je m'aperçois déjà que les \(\frac{25}{4}\) s'éliminent

\(f(a)-f(b) = \left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}\)

il ne me reste plus qu'une expression de la forme : \(A^{2}-B^{2}\) et je peux utiliser une identité remarquable


\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b - \frac{3}{2}\right)\right)\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)-\left(b-\frac{3}{2}\right)\right)\)

\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(a - \frac{3}{2}+b - \frac{3}{2}\right)\left(b - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right)= \left(a + b -\frac{6}{2}\right)\left(a - b\right)\)

les \(\frac{3}{2}\) s'annulent dans le second

dans le premier \(\left(\left(a -\frac{3}{2}\right)+\left(b -\frac{3}{2}\right)\right) = \left(a + b - 3\right)\)

c'est \(\left(a - b\right)\left(a + b - 3\right)\) qu'il faut trouver







Pouvez vous m'aidez à trouver le signe de f(a) - f(b) ?

--> je comprends que l'on a un produit de deux facteurs :
- si un produit de deux facteurs de signe différents , le produit est négatif
- si un produit de deux facteurs de même signe , le produit est positif

donc si je pars de l'hypothèse a < b
pour trouver la définition de la fonction croissante il faut trouver \(f(a) < f(b) \Leftrightarrow f(a) < f(b)\)
et pour prouver que la fonction est décroissante, je rejoins la définition de la fonction décroissante \(a < b \Leftrightarrow f(a) > f(b)\)-

[SoS-Math(33)]

Attention tu as fait un oubli
\(\left(a -\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(b - \frac{3}{2}\right)^{2} = \left(a - \frac{3}{2}+b - \frac{3}{2}\right)\left({\color{red}{a-}}b - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\right)= \left(a + b -\frac{6}{2}\right)\left(a - b\right)\)

Ton résultat est correct.
Tu sais que sur l'intervalle a<b<1,5 donc tu peux en déduire le signe de (a+b-3)
Il te reste ensuite à étudier le signe de (a-b) sur l'intervalle.

[léo]

Bonjour

je vais déjà avoir besoin de votre aide pour le signe de (a - b)

[SoS-Math(33)]

Pour tout nombre a et b si a<b alors a-b<0 c'est un résultat que tu connais déjà et il est indépendant de l'intervalle auquel appartiennent a et b.

[léo]

sur [-2 ; 1,5 ]

le nombre a est forcément inférieur à 1,5
et le nombre b est également inférieur à 1,5

[SoS-Math(33)]

Oui et si a<b alors (a+b-3) est de quel signe?

[léo]

sur l'intervalle [-2;1,5]

a \(\leqslant 1,5\) et \(b \leqslant 1,5\)

c'est bien cela ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Oui tu as bien \(a \leq 1,5\) et \(b \leq 1,5\), donc \(a+b \leq ....\) donc \(a+b-3 \leq ....\)
Je te laisse compléter.

SoSMath.

[léo]

Bonsoir SoS 9 ( merci beaucoup pour votre aide )

en fait ce que je voulais dire :

\(a\leqslant 1,5\) et \(b\leqslant 1,5\)

par hypothèse a < b alors, dans ce cas, est ce que je peux dire que : a n'est plus \(\leqslant 1,5\) mais plutôt \(a < 1,5\)

[léo]

je ne sais pas si vous voyez comment je raisonne

n'hésitez pas à me contredire !!

[SoS-Math(9)]

Léo,

on veut le signe de a+b-3 c'est-à-dire savoir si a+b-3 > 0 (a+b-3 positif) ou a+b-3 < 0 (a+b-3 négatif).
Donc si a≤1,5 et b≤1,5, que peux-tu dire de a+b ? a+b-3 ?

SoSMath.

,

[léo]

et bien on est dans le vif du sujet et j'ai un mal fou à répondre

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Léo,

Je n'ai pas lu tout le sujet mais tu peux essayer de calculer a+b-3 pour :

a=1 et b= 1 par exemple

ensuite,

pour a=2 et b=2

puis pour a=1 et b=4...

Bon courage !

[léo]

Bonsoir sos 25

a = 1 et b = 1 alors (1 + 1) - 3 = 2 - 3 = -1 \(\Rightarrow a + b - 3 < 0\)

a = 2 et b = 2 alors (2 + 2) - 3 = 4 - 3 = 1 \(\Rightarrow a + b - 3 > 0\)


pour a = 1 et b = 4 donne (1 + 4) - 3 = 5 - 3 = 2 \(\Rightarrow a + b - 3 > 0\)

[SoS-Math(25)]

Léo,

on veut le signe de a+b-3 c'est-à-dire savoir si a+b-3 > 0 (a+b-3 positif) ou a+b-3 < 0 (a+b-3 négatif).
Donc si a≤1,5 et b≤1,5, que peux-tu dire de a+b ? a+b-3 ?

SoSMath.

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