Fonction : Une hyperbole

[Kalyla]

Bonjour,

Je reposte mon message car il n'a toujours pas été pris en compte.

Soit f la fonction définie sur ] 2; +infini [ par :
f(x) = (x^2 - 3x + 4 )/(x-2)
On note C la courbe représentative dans un repère (O;I,J)

5) Résoudre par calcul f(x)<5

je crois avoir oublié comment résoudre ce type d'inéquation.

x^2 - 3x + 4/ x - 2 < 5
x^2 + 4 - 5 < 3x - x - 2
4 - 5 + 2 < -x^2 + 3x - x
1 < -x^2 + 2x

Je ne pense que ce soit sa.

Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Kayla,
il faut donc résoudre \(\dfrac{x^2-3x+4}{x-2}<5\).
Je te conseille de passer le 5 dans le membre de gauche et de l'écrire sous le même dénominateur que la fraction puis de calculer ces deux fractions de sorte que tu aies \(\dfrac{....-.....+....}{x-2}<0\) : cette forme là est toujours plus facile à utiliser car le signe d'une expression est plus simple à obtenir.
Fais déjà cela et ensuite cherche à écrire ton numérateur sous la forme \((x-....)^2-...\).
Je reprendrais l'explication quand tu auras obtenu ces expressions.
Bonne continuation

[Kalyla]

x^2 - 3x + 3/x-2 < 5
= x^2 - 3x + 3 - 5*(x-2)/x-2<0
= x^2 -3x + 3 - 5x + 10/x-2 <0
= x^2 - 8x + 13/x-2 <0
A partir de la dois-je mettre (x-2) de l'autre côtés ?

[sos-math(21)]

Je te cite :

x^2 - 3x + 3/x-2 < 5

: il y a une erreur de texte, tu dois avoir un 4 et à la fin cela donne :
\(\dfrac{x^2-8x+14}{x-2}<0\) et pas 13 en terme constant.
Maintenant on étudie ce quotient : on est dans l'intervalle \(]2\,;\,+\infty[\) donc quel est le signe de \(x-2\) ?
Tu dois en déduire que le quotient est négatif quand son dénominateur est ...
Il te reste à résoudre une inéquation avec le numérateur \(x^2-8x+14\).
Il faut modifier son écriture ; essaie de l'écrire comme je te l'ai proposé : \((x-\ldots)^2-\ldots\).
Cela t'aidera pour résoudre l'inéquation : ceci dit, c'est un exercice assez difficile pour le niveau seconde (avez-vous vu les tableaux de signes ? et les fonctions polynôme de degré 2 ?)
Bon courage

[Kalyla]

x-2 est positif, mais sa me mène à quoi ?

Sinon j'ai trouvé :

x^2 - 8x + 14 - x + 2 < 0
x^2 - 7x + 16 <0

C'est bizarre non ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
le fait que \(x-2\) soit positif te permet de ramener la résolution de l'inéquation à \(x^2-8x+14<0\) : si un quotient est négatif et que son dénominateur est positif, alors le numérateur est négatif (règle des signes)).
Te voilà ramenée à résoudre \(x^2-8x+14<0\). Ce que tu proposais est erroné, cela n'a pas de sens de remonter le dénominateur avec le numérateur.
Je te rappelle ma proposition : écris l'expression sous la forme \((\ldots-\ldots)^2-\ldots<0\).

[Kalyla]

Bonjour,

x^2 - 8x + 14<0
( x - 4 )^2 - 7 < 0

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas d'accord, si on développe ton expression, on a \((x-4)^2-7=x^2-8x+16-7=x^2-8x+9\)
Reprends cela.

[Kalyla]

Bonjour,

( x - 4 )^2 - 2 <0

[sos-math(21)]

C'est mieux,
donc maintenant si on veut résoudre cette inéquation dans \(]2\,;\,+\infty[\), il faut passer le 2 de l'autre côté et utiliser la propriété liée aux paraboles :
\(x^2<a\) est équivalent à \(-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}\)

Je te laisse poursuivre

[Kalyla]

Je vais noté V pour racine carrée

( x-4 )^2 < 0
( x-4)^2 < 2
-V2 < (x-4)^2 < V2

Je laisse (x-4)^2 dans l'encadrement ou je met x^2 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans l'encadrement, il n'y a plus de carré : \(-\sqrt{2}<x-4<\sqrt{2}\).
C'est presque terminé

[Kalyla]

-V2 < x < V2
-V2/(-4) > x > V2/(-4)
-2/(-4) > x > 2/(-4)
0,5 > x > -0,5

[sos-math(21)]

Le 4 est en soustraction par rapport à l'inconnue \(x\), tu le passes dans les autres membres en inversant l'opération qui le relie à \(x\), c'est-à-dire en faisant une addition !
Reprends cela.

[Kalyla]

2 < x < 6