produit scalaire

[yann]

Bonjour

dans un plan muni d'un repère orthonormal \(0, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\) on a deux vecteurs \(\overrightarrow{u}(x , y)\) et \(\overrightarrow{v}(x',y')\)

on a alors \(||\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|| =||\overrightarrow{x}.\overrightarrow{x'} + \overrightarrow{y}.\overrightarrow{y'}||\)

pouvez vous m'indiquez comment faire la démonsration

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,
il te faut utiliser l'écriture de \(\overrightarrow{u}\) et de \(\overrightarrow{v}\) dans le repère \(0, \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\)
\(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v} = x'\overrightarrow{i} + y'\overrightarrow{j}\)
Ensuite tu calcules le produit scalaire avec ces formes la.
Je te laisse faire le calcul.

[yann]

Bonsoir SOS 33

merci de m'avoir répondu et aussi de m'aider (une nouvelle fois )

est ce que je dois utiliser la formule \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\begin{Vmatrix} \overrightarrow{u} \end{Vmatrix}^{2} + \begin{Vmatrix} \overrightarrow{v} \end{Vmatrix} - \begin{Vmatrix} \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} \end{Vmatrix} ^{2}\end{pmatrix}\)

[SoS-Math(25)]

Bonjour Yann,

Tu peux utiliser cette formule.

\(||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2\)....

Tu devrais aboutir au résultat désiré.

Bon courage !

[yann]

Bonsoir

en utilisant \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= (\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})\)

j'utilise la propriété :

\((\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}) (\overrightarrow{w}.\overrightarrow{x}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{x}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{x}\)

donc je reprends avec u et v :
\((\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}\)

ensuite , on peut simplifier (ou plutôt factoriser)

\((\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= i(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{x'})+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j} +\overrightarrow{y} .\overrightarrow{j}+\overrightarrow{x'} .\overrightarrow{i} +j(\overrightarrow{y}.\overrightarrow{y'})\)

[SoS-Math(33)]

Bonsoir yann,

\((\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}) (\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j})= \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}+\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}+\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}\)
quand tu simplifies cette ligne , \(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{y'}.\overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{y}.\overrightarrow{j}.\overrightarrow{x'}.\overrightarrow{i}\) ne sont-ils pas égaux à 0?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Yann, ta dernière ligne est fausse
(x\(\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\)). (x'\(\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}\)) = x x' overrightarrow{i}.overrightarrow{i} + xy' overrightarrow{i}.overrightarrow{j}+x'y

overrightarrow{i}. overrightarrow{j}+yy'overrightarrow{j}.overrightarrow{j}