SOS-MATH

Poursuivi par la marine royale, un groupe de pirates des Caraïbes a caché un trésor dans une île.
Sur cette île, il y a un arbre mort (noté A), un palmier (P) et un vieux baril de poudre ( B). La distance entre l'arbre mort et le baril de poudre est de 60m, et le palmier se trouve sur le chemin reliant ces deux points, à 10m du baril. Ce chemin est orienté de l'ouest vers l'est

Le chef des pirates a noté sur un parchemin une façon de découvrir le trésor :

"Le trésor est deux fois plus loin de l'arbre mort que du baril de poudre. Il est à égale distance du palmier et du baril et il est au nord du chemin reliant l'arbre mort au baril."

On se propose de découvrir l'emplacement exact du trésor.
On se place dans un repère orthonormé d'origine A et tel que le point B ait pour coordonnées (60;0).

PARTIE A : Recherche expérimentale du trésor

1. Quelles sont les coordonnées du point P dans ce repère
2. Ouvrir le logiciel GeoGebra, puis créer les points A, P et B
3. Quel est l’ensemble D des points situés à égale distance du palmier et du baril ?
Représenter D à l’aide du logiciel
4. On veut à présent conjecturer la nature de l’ensemble S des points M situés deux fois plus loin de l’arbre mort que du baril, c’est-à-dire tels que MA = 2MB
A) On va utiliser le logiciel pour faire une conjecture sur l’ensemble E des points M tels que MA > 2MB sur l’ensemble F des points M tels que MA < 2MB
Pour cela, créer un point M puis ouvrir l’onglet Propriétés par un clic-droit sur le point et choisir Avancé. Définir alors les conditions requises pour afficher le point M d’une couleur différente suivant si M vérifie l’une ou l’autre des égalités.
B) Activer la trace de M et déplacer ce point dans le plan
C) Faire une conjecture sur l’ensemble S en donnant sa nature et ses éléments remarquables.
D) Représenter l’ensemble S
E) A l’aide des tracés de D et de S, déterminer l’emplacement du trésor en donnant ses coordonnées au décimètre près.

PARTIE B : Recherche géométrique du trésor

1. On a étudié dans la partie précédente l’ensemble D des points situés à égale distance du palmier et du baril.
A quoi est égale l’abscisse des points de D

2. On étudie à présent l’ensemble S
a) Montrer que M appartient à S si et seulement si MA² =4MB².
b) Soit (x;y) les coordonnées de M dans le plan repéré. Calculer MA² et MB² en fonction de x et y.
c) Montrer que M appartient à S si et seulement si : x²+y²-160x+4800=0.
d) Montrer que : x² + y² - 160x + 4800 = (x – 80)² + y² - 1600
e) En déduire que M appartient à S si et seulement si CM = 40, où C est un point dont on donnera les coordonnées
f) Donner la nature de l’ensemble S

3. Conclusion
a) A l’aide des questions 1 et 2, montrer que l’ordonnée du trésor vérifie y² = 975
b) En déduire les coordonnées exactes du trésor

Montrer que M appartient à S si et seulement si : x²+y²-160x+4800=0.