SOS-MATH

Bonsoir,
J'ai un petit soucis pour une démonstration de vecteurs...
Voici les données de l'énoncé :
BM= BA+BC
MP = 2MA
MN= 2MC

Avec cela, il faut démontrer :

PN = 2PB

J'ai vraiment du mal, quelqu'un peut m'aider ?

Merci !

NB: Les données si dessus sont des vecteurs, pas des longueurs, mais je ne sais pas mettre les flèches par informatique.

Bonjour Pauline,
As tu commencé par faire un dessin représentant cette situation, cela aide ensuite pour écrire !
Le calcul à faire repose sur la relation de Chasles, te souviens tu l'avoir étudiée en classe ?

à bientôt

J'ai fait un desssin mais il me complique beaucoup le raisonnement...

Oui, bien sûr ! Avec ce calcul, j'ai essayé d'appliquer la relation de Chasles plein de fois, mais je n'aboutis jamais au résultat attendu.

Par exemple, j'ai écrit :

PN= PM + MN
PN= PB + BM + MN
PN= BP + BA + BC + 2MC

Et après cela, rien de très productif...

Bonjour Pauline,
C'est pourtant la bonne méthode, mais tu dois garder comme objectif le résultat auquel tu veux aboutir.
Cela s'appelle la "décomposition" des vecteurs : l'idée est bien d'écrire un vecteur AB comme la somme de deux vecteurs AC+CB par exemple.

Ici tu connais : BM= BA+BC ; MP = 2MA ; MN= 2MC
et tu veux aboutir à une relation entre PN et PB.

Le dessin aide beaucoup à comprendre, je t'ai fait une représentation : Il faut donc 'décomposer' le vecteur PN en utilisant M et le vecteur PB en utilisant M... on va essayer d'arriver à utiliser ensuite uniquement les vecteurs MA et MC .

PN= PM + MN
PN= PB + BM + MN
PN= BP + BA + BC + 2MC

Tu étais bien partie à la ligne 1 ! Mais il faut utiliser maintenant les données : par quoi remplacer PM et MN ?

Eh bien, on peut mettre...

PN = PM+MN
PN = 2AM + 2MC

Et après il faut bien que je fasse apparaître le point P et B non ?

Si on veut utiliser uniquement MA et MC, l'égalité que tu proposes n'est pas exacte ...

PN = 2AM + 2MC = .... MA -2 MC

Ensuite, faire intervenir le point M pour décomposer PB, et essayer de l'écrire seulement avec MA et MC . je reste à l'écoute

Je n'ai pas compris l'égalité énoncé juste avant...
Si on veut utiliser MA et MC uniquement il faudrait mettre
PN= -2MA +2 MC ?

Bonjour Pauline,
oui, ton égalité était juste.
Maintenant, complétes ces égalités afin de faire intervenir le point B :
\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B...} et \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{B...}\)

Désolée Pauline,
Sos math 31 a une autre méthode, elle doit aussi aboutir au même résultat (c'est la beauté des maths) mais je persiste à te demander de décomposer PB avec le point M car c'est le vecteur qui t'es demandé.

PB = P... + ...B = .... tu peux continuer en utilisant la définition des vecteur et aussi le fait que MABC est un parallélogramme.

Je reste à l'écoute

D'accord... De toute façon, je suis ouverte à toutes les solutions possibles...

Je ne cible pas trop la méthode utilisée mais je vais faire mon possible pour poursuivre la démarche et trouver le résultat attendu.

D'accord Pauline, je reste à l'écoute encore ce soir ...