variation de fonction

[Patricia]

Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ à sa ferme F .
Il se trouve à 3 km de la route qui mène à la ferme , et à 5 km de cette dernière . Il souhaite économiser le carburant de son tracteur et voudrait donc savoir s’il doit rejoindre la route ( et où ?) pour consommer le moins de carburant possible sachant que:
Il consomme 1 litre de carburant par kilomètre parcouru sur la route Il consomme 2 litres de carburant par kilomètre parcouru à travers son champ .
Déterminer le meilleur itinéraire et la consommation de carburant .

Pour le schéma on a un triangle C ( dans le champ) H (sur la route) et F (sur la route ) rectangle en H


D'après le schéma CHF représente un triangle rectangle en H
En appliquant le théorème de Pythagore on détermine HF
CH2+HF2=CF2
HF2= CF2-CH2 =52-32=25-9=16
HF=V16=4km
Donc si l'agriculteur fait comme chemin CH puis HF il parcourt 3+4=7km et il consommera 3*2+4*1= 6+4= 10 litres de carburant
SI l'agriculteur va de C vers F il parcourt 5km et consommera 5*2=10 litres de carburants
Pour économiser du carburant il faut trouver un point H' qui se trouve sur HF pour que le trajet CH'F soit plus court.
Le point H' est entre H et F donc on pose H'F=x et 0< = x<= longueur HF
Dans le triangle CHF, HF=4km
Donc 0< = x<= 4
Dans le triangle CHH' grace à Pythagore
H'C2= HH'2 + CH2
H'C2 = x2 + 32
H'C = V(9 + x²) (avec V pour racine carrée)

H'F = HF - HH'
H'F = 4 - x

La consommation de carburant sur le trajet H'C= 2*H'C = 2.V(9 + x²) litres
La consommation de carburant sur le trajet H'F : 1*H'F = (4-x) litres

Donc la consommation totale sur le trajet C-->H'-->F : f(x) = (4-x) + 2.V(9 + x²)
Il faut trouver x dans [0 ; 4] pour que f(x) soit minimum.
Pour x=2 cette fonction admet un minimum à 9,21

Merci de m'indiquer si mon raisonnement et la solution sont justes

[sos-math(20)]

Bonsoir Patricia,

Ton raisonnement est correct.

Bonne soirée

SOSmath

[patricia]

Bonsoir
excusez moi mais en revérifiant avec la calculette il me semble que je me suis trompée c'est plutôt pour x=3 que la fonction a son minimum à 1
Mais je bloque pour donner le nombre de litres consommés par l'agriculteur
Merci de votre aide

[sos-math(27)]

Bonsoir Patricia,
Si tu trouves le x du minimum, la consommation sera donc f(x) .
Mais comment as tu fis pour trouver ce minimum, car ce n'est pas vraiment la bonne réponse...
à plus tard

[patricia]

Bonsoir
Après revérification le minimum pour f(x) = (4-x) + 2.V(9 + x²) et x=2 donc la consommation est de 9.21litres
Merci de me le confirmer

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Patricia,

Comment as-tu fait pour déterminer la valeur de x pour laquelle cette fonction est minimale ? Je ne trouve pas la même valeur que toi.

A bientôt

[patricia]

Bonsoir
J'ai rentré la fonction dans la touche f(x) puis grâce à la touche def table j'ai défini que le tableau commence à 0 et qu'il aille de 1 en 1 puis j'ai appuyer sur la touche pour afficher le tableau. Les Y sont avec des racines carrés que j'ai calcule afin de trouver Y minimum qui me donne X=2
Pourriez vous me dire comment vous avez fait et votre résultat. Avez vous défini le tableau de façon différente.
Je doit le rendre pour Lundi
Merci

[patricia]

Bonsoir
en affinant avec la calculette je trouve x=1.7 donc 9.1964 ou environ 9.2 litres
Merci de m'indiquer si ce résultat est correcte

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Patricia,

Tu as la même réponse que moi ! Il fallait juste affiner ta recherche.

Bonne continuation.