Démonstration du lemme transformation de Dirichlet
Posté : mer. 23 déc. 2015 17:40
Bonjour à tous,
je travaille sur la preuve d'un lemme, celui de la transformation de Dirichlet (notre but ensutie est de démontrer le théorème de Dirichlet).
Voici le lemme en question ;
Soit \(fn(x)= \frac{a0}{2} +\sum_{p=1}^{n}\ apCos(px) + bpSin(px)\)
\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{sin((n+1/2)u)}{2sin(u/2)} [f(x+u) + f(x-u) ] du\) u différent de 0 modulo 2pi
Voilà pour ce qui est de la démo :
\(fn(x) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) dt ) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)Cos(pt) dt Cos(px) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)sin(pt) dt sin(px)\)
Jusque ici tout va bien, c'est pour ce que je vais écrire que je ne comprends pas.
On écrit que la seconde partie de fn(x) donc :
\(\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) [ Cos(pt)Cos(px) + sin(pt)sin(px) ] = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t)Cos(pt-px) dt\)
Je ne comprends pas qu'on passe de \(2\pi\) à \(\pi\)
et la ligne d'après on écrit :
\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{x- \pi}^{x + \pi} (\frac{1}{2} + \sum_{p=1}^{n}\ cos(p(t-x)) f(t) dt\)
Ici même prblème je ne comprends l'intervalle choisir pour l'intégrale ....
Merci d'avance pour votre aide.
je travaille sur la preuve d'un lemme, celui de la transformation de Dirichlet (notre but ensutie est de démontrer le théorème de Dirichlet).
Voici le lemme en question ;
Soit \(fn(x)= \frac{a0}{2} +\sum_{p=1}^{n}\ apCos(px) + bpSin(px)\)
\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{sin((n+1/2)u)}{2sin(u/2)} [f(x+u) + f(x-u) ] du\) u différent de 0 modulo 2pi
Voilà pour ce qui est de la démo :
\(fn(x) = \frac{1}{2} ( \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) dt ) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)Cos(pt) dt Cos(px) + \sum_{p=1}^{n}\ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)sin(pt) dt sin(px)\)
Jusque ici tout va bien, c'est pour ce que je vais écrire que je ne comprends pas.
On écrit que la seconde partie de fn(x) donc :
\(\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) [ Cos(pt)Cos(px) + sin(pt)sin(px) ] = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t)Cos(pt-px) dt\)
Je ne comprends pas qu'on passe de \(2\pi\) à \(\pi\)
et la ligne d'après on écrit :
\(fn(x) = \frac{1}{\pi} \int_{x- \pi}^{x + \pi} (\frac{1}{2} + \sum_{p=1}^{n}\ cos(p(t-x)) f(t) dt\)
Ici même prblème je ne comprends l'intervalle choisir pour l'intégrale ....
Merci d'avance pour votre aide.